上海高中数学暑假辅导班 高二数学暑假补习班.ppt

共 61 页 3.2.2 利用空间向量证明平行、 垂直关系 自 学 导 引 (学生用书P80) 会用空间向量证明线与线、线与面、面与面之间的平行,垂直关系,掌握用向量解决立体几何问题的方法步骤. 课 前 热 身 (学生用书P80) 1.空间中的平行关系主要有__________、__________、__________,空间中的垂直关系主要有__________、__________、__________. 2.证明两条直线平行,只要证明这两条直线的方向向量是__________即可. 3.证明线面平行的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量___________. (2)证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量__________. (3)利用共面向量的定理,即证明直线的方向向量与平面内两个不共线的向量是__________. 4.证明面面平行的方法 (1)转化为__________、__________处理; (2)证明这两个平面的法向量是__________. 5.证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量__________. 6.证明线面垂直的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量是__________; (2)证明直线与平面内的__________. 7.证明面面垂直的方法 (1)转化为__________、__________; (2)证明两个平面的法向量__________. 名 师 讲 解 (学生用书P80) 1.利用空间向量证明线与面平行:只要在平面α内找到一条直线的方向向量为b,已知直线的方向向量为a,问题转化为证明a=λb即可. 2.利用空间向量证明两条异面直线垂直:在两条异面直线上各取一个向量a、b,只要证明a⊥b,即a·b=0即可. 3.证明线面垂直:直线l,平面α,要让l⊥α,只要在l上取一个非零向量p,在α内取两个不共线的向量a、b,问题转化为证明p⊥a且p⊥b,也就是a·p=0且b·p=0. 4.证明面面平行、面面垂直,最终都要转化为证明线线平行、线线垂直. 典 例 剖 析 (学生用书P80) 题型一 证明线面平行 例1:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是C1C、B1C1的中点,求证:MN∥平面A1BD. 变式训练1:ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱,侧棱长为3,底面边长为2,E是棱BC的中点,求证:BD1∥平面C1DE. 证明:以D为坐标原点,以DA,DC,DD1为坐标轴建系如右图, 则B(2,2,0),D1(0,0,3), E(1,2,0),C1(0,2,3), 题型二 证明线面垂直 例2:如下图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、D1B1的中点. 求证:EF⊥平面B1AC. 分析:转化为线线垂直或利用直线的方向向量与平面的法向量平行. 证明:方法1:设A1B1的中点为G, 连结EG,FG,A1B. 则FG∥A1D1,EG∥A1B. ∵A1D1⊥平面A1B.∴FG⊥平面A1B. ∴AB1?平面A1B,∴FG⊥AB1, ∴A1B⊥AB1,∴EG⊥AB1.∴EF⊥AB1. 同理EF⊥B1C.又AB1∩B1C=B1, ∴EF⊥平面B1AC. 方法3:设正方体的棱长为2,建立如下图所示的空间直角坐标系, 规律技巧:(1)方法1是传统的几何法证明,利用线面垂直的性质及判定,需添加辅助线. 方法2选基底,将相关向量用基底表示出来,然后利用向量的计算来证明. 方法3建立空间直角坐标系,利用向量,且将向量的运算转化为实数(坐标)的运算,以达到证明的目的. (2)几何的综合推理有时技巧性较强,而向量代数运算属程序化操作,规律性较强,但有时运算量大,两种处理方法各有优点,不能偏废. 分析:由判定定理,只要证明CD垂直于面PAC中的两条相交直线即可,或者用向量法证明CD的方向向量与平面PAC的法向量平行. 证明:方法1:如下图,分别以AB、AD、AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系, 则C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1), 题型三 证明面与面垂直 例3:三棱柱ABC-A1B1C1是各条棱长均为a的正三棱柱,D是侧棱CC1的中点. 求证:平面AB1D⊥平面ABB1A1. 分析:转化为线线垂直、线面垂直或者利用法向量垂直. 证明:方法1:取AB的中点E. ∵三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱, ∴CE⊥AB且AA1⊥CE,得 CE⊥面ABB1A1. 另取AB1中点M,得MD∥CE. ∴MD⊥面ABB1A1. 又∵MD?面AB1D, ∴面AB1D⊥面ABB1A1. 方法3:建系如下图,正三棱柱底面边长为a,高为a,取AB1的中点M,则相关点的坐标如下: 规律技巧:证明面面垂直有传统方法和向量法