山西省朔州市怀仁市第一中学校2024届高三上学期第一次月考数学试题.docx
怀仁一中高三年级2023~2024学年上学期第一次月考
数学
全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．请按题顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。
5．本卷主要考查内容：高考范围。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知i为虚数单位，则复数的虚部为（）
A． B． C． D．
2．下列向量关系式中，正确的是（）
A． B． C． D．
3．设等差数列的前n项和为，且，，则（）
A． B．10 C．11 D．
4．若，则函数有（）
A．最小值 B．最大值 C．最小值 D．最大值
5．二项式的展开式中的常数项为（）
A．1792 B．－1792 C．1120 D．－1120
6．某人家的抽屉里有4双不同花色的袜子，从中随机任取3只，则这3只袜子中恰有2只花色相同的概率为（）
A． B． C． D．
7．已知函数，若在内的两个根为，，则（）
A． B． C． D．
8．函数的定义域为M，若存在正实数m，对任意的，都有，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则k的最小值为（）
A．2 B．1 C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列函数中，在上单调递增，且其图象存在对称轴的有（）
A． B．
C． D．
10．已知函数，则下列选项正确的是（）
A．函数在处取得极小值0
B．
C．若函数在上恒成立，则
D．函数有三个零点
11．在长方体中，已知，，则下列结论正确的有（）
A． B．异面直线与所成的角为90°
C．二面角的余弦值为 D．四面体的体积为
12．已知，是抛物线上异于坐标原点O的两个动点，且以AB为直径的圆过点O，过点O作于点M，则（）
A．直线AB的斜率为 B．直线AB过定点
C．点M的轨迹方程为 D．的重心G的轨迹为抛物线
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知全集，集合，，则______．
14．为了建设社会主义新农村，近年来某城关镇积极招商引资，加快经济建设，使居民收人得到了较大的提高．已知该城关镇2016年至2020年（用，2，3，4，5表示年份）的居民人均收人y（万元）的数据如下表：
x
1
2
3
4
5
y
12
15
19
24
30
由此得到y关于x的经验回归方程为，则可以预测2021年该城关镇居民人均收人为______万元．
15．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支相交于A，B两点，，且的周长为10，则双曲线C的焦距为______．
16．在三棱锥中，已知侧棱底面ABC，，且，在此三棱锥内放一个球，当球的体积最大时，球的半径为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求C；
（2）若，，如图，D为线段AB上一点，且．求CD的长．
18．（本小題满分12分）
已知正项等比数列的前n项和为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，记数列的前n项和为，求的最大值．
19．（本小题满分12分）
如图，在四校锥中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，，点M在棱PC上，且，．
（1）证明：平面PAB；
（2）求DM与平面BEF所成角的正弦值．
20．（本小题满分12分）
为庆祝六一国际儿童节，某单位组织本单位职工的小孩举行游艺活动．其中有个“套圈游戏”，游戏规则为：每个小孩有三次套圈机会，其中前两次每套中一次得1分，第三次套中得2分，没有套中得0分．
套完三次后，根据总分确定获奖等第：总分为0分获三等奖，总分为1分或2分获二等奖，总分为3分或4分获一等奖．
假设欢欢和乐乐两个小朋友每次套圈套中的概率分别为和，且每次套圈互不影响，
（1）求欢欢和乐乐两个小朋友都获得一等奖或二等奖的概率；
（2）试从平均得分的角度，分析欢欢和乐乐两位小朋友各自得哪个奖项的可能性较大？
21．（本小题满分12分）
已知函数，其中．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围．
22．（本小题满分12分）
在平面直角