知识讲解_导数在函数性质中的应用——单调性.doc

导数在函数性质中的应用——单调性 编稿：张林娟 审稿：孙永钊 【学习目标】 1. 知识与技能 能用导数判断函数的单调性、求不超过三次的多项式函数的单调区间； 掌握求函数单调区间的方法和步骤. 2. 过程与方法 通过利用导数研究函数的单调区间的过程，掌握利用导数研究函数性质的方法. 总结求函数单调区间和极值的一般步骤，体会其中的算法思想，认识到导数在研究函数性质中的应用. 3. 情感、态度与价值观 通过用导数方法研究函数性质，认识到不同数学知识之间的内在联系，以及导数的应用价值. 【要点梳理】 要点一：函数的单调性与导数的关系 我们知道，如果函数在某个区间是增函数或减函数，那么就说在这一区间具有单调性. 已知函数的图象如图所示， 由函数的单调性易知，当时，是减函数；当时，是增函数.现在我们看看各个单调区间内任意一点的切线情况： 考虑到曲线的在某点处切线的斜率就是函数在改点的导数值，从图象可以看到： 在区间（－∞，2）内，任意一点的切线的斜率为负，即时，为减函数. 在区间（2，+∞）内，任意一点的切线的斜率为正，即时，为增函数. 导数的符号与函数的单调性： 一般地，设函数在某个区间内有导数，则在这个区间上， （1）若，则在这个区间上为增函数； （2）若，则在这个区间上为减函数； （3）若恒有，则在这一区间上为常函数. 反之，若在某区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）． 要点诠释： ①导函数的正负决定了原函数的增减； ②在区间(,)内，（或）是在区间(，)内单调递增（或减）的充分不必要条件. 注意：只有当在某区间上有有限个点使时，（或）?在该区间内是单调递增（或减）.例如：而在R上递增. ③当在某区间内恒有，这个函数在这个区间上才为常数函数. 要点二：利用导数研究函数的单调性 利用导数判断函数单调性的基本方法： 设函数在区间（，）内可导， （1）如果恒有，则函数在（，）内为增函数； （2）如果恒有，则函数在（，）内为减函数； （3）如果恒有，则函数在（，）内为常数函数. 利用导数求函数单调区间的基本步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求导数； （3）在函数的定义域内解不等式或； （4）确定的单调区间. 或者：令，求出它在定义域内的一切实数根。把这些实数根和函数的间断点（即的无定义点）的横坐标按从小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间，判断在各个小区间内的符号. 要点诠释： ①求函数单调区间时，要注意单调区间一定是函数定义域的子集； ②求单调区间常常通过列表的方法进行求解，使解题思路步骤更加清晰、明确. 【典型例题】 类型一：利用导数判断不含参函数的单调性 例1. 求函数的单调区间. 【思路点拨】按照求单调区间的步骤一步步进行. 【解析】 第一步：确定函数的定义域： 的定义域是（0，+）； 第二步：求导： ； 第三步： 方法一：解不等式，确定单调增区间： 令，即， 同解于不等式 解得， 所以当时，是增函数. 方法二：列表： 令，解得或解得（舍去）. 则定义域（0，+）被1分成两个子区间，在各个区间内，、的变化情况如下： （0，1） 1 （1，+） ? 0 + ↘ … ↗ 第四步：确定函数的单调区间： ∴的单调递增区间为，单调递减区间为. 【总结升华】 （1）方程可通过化为其指数形式（e是自然对数“ln”的底数，其值为2.71828…）来计算. （2）在方法一求函数的减区间的过程中，无需通过解不等式求解，因为我们已经获得了函数的单调增区间，而在定义域内将增区间排除自然是减区间. 只需在最后加以说明即可. （3）在方法二的表格判断正负的过程中，采用合适的方法将减少失误，常用方法有三个： ①不等式法：根据给定的各个的区间，判断中各项因式的符号，从而确定的符号； ②特殊值法：由于函数的零点已经确定，故在各个区间的符号是一致的，只需要取区间内一合适的值严重的正负即可； ③图象法：画出导函数的图象，轴上方的图象为正，下方图象为负. （4）注意写单调区间时，不是连续的区间一般不能用并集符号“U”，并且在定义域内的区间端点可“开”可“闭”.比如，在本题中，增区间（1，+)也可写为[1，+). 举一反三： 【变式1】确定下来函数各的单调区间： （1）【高清课堂：函数的单调性370874 例1】； （2）. 【解析】 （1）的定义域为R. ， 令，得＜0或＞2， 因此，函数的单调增区间为（－∞，0）和（2，+∞），而单调递减区间为（0，2）. （2）的定义域为R . 。 令，得＜－1或＞1， ∴函数的单调增区间为（－∞，－1）和（1，+∞），其单调递减区间为（―1，1）。 【变式2】求下列函数的单调区间： （1）； （2）. 【