利用轴对称求最值.doc

利用轴对称求最值 轴对称知识在近来的中考题中，经常出现，笔者浏览最近几年各地的中考试题，发现各地中考试题除考察轴对称图形的基本知识和性质，还考察了利用轴对称知识解决最值问题，这类问题在各地中考试题中，屡见不鲜，如何利用轴对称的性质解决最值问题呢？根据本人多年教学工作的一些体会。概括一些常见的题型。 一、基础知识 如图直线l同侧有两点A、B，在直线l上找点P，使得PA+PB最短，并简要说明理由。解：作点关于直线l的对称点A′，连A′B交直线l于点P,则点P即为所求，此时PA+PB PA′+PB A′B。 A1 二、典型例题： A组（1）以菱形为载体的最短距离问题： 如图所示，菱形ABCD中，∠ BAD 60°，AB 4，M是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PM+PB的最小值是_________。 解：∵菱形ABCD是以AC为对称轴的轴对称图形。 ∴点B关于直线AC的对称点为点D, 连接DM交AC于点P,则PM+PB的最小值即为线段DM,此时DM ∴PM+PM的最小值为. （2）以矩形为载体求最短距离问题 在矩形ABCD中，AB 2，AD 4，E为为边CD中点。P为边BC上的任一点，求PA+EP的最小值。 解：作点A关于BC的对称点A′，连A′E交BC于点P,则点P为所求，此时PA+PE的最小值即为A′E, 过点E，作EF⊥AB， A′E 5 ∴PA+PE的最小值为5。 （3）以正方形为载体的最短距离问题： 如图所示，正方形ABCD的边长为2，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上找一点P,使PD+PE最小，则这个最小值为_________. 解：∵正方形ABCD是以AC为对称轴的轴对称图形。 ∴点B关于点D关于AC对称 ∵BE即为PD+PE的最小值 ∴PD+PE的最小值为2 4 以圆形为载体的最短距离问题： 如图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB, ∠ABC 60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值。 解：延长AO交⊙O于点A1，则点A关于直线OA的对称点为A1，连A1C交OB于点P，则PA+PC的最小值为A1C，连AC，RT△AA1C中，COS300 A1C 4 ，PA+PC的最小值是 B A PL LL D C P M B A D A E F B P C A1 D A P E B C B C A P O A1