第五章 测不准关系.doc

测不准关系 第一部分 内容提要 一 体系处于力学量的本征态吓测量力学量时，测量值就是态的本征值，有唯一确定值，几率是1。 二 如果两个力学量相互对易，则它们有共同本征态.在它们共同本征态中测量两个力学量分别有确定值。 三 如果两个力学量算符和不对易： 则在体系的任意状态 下测量F和G不能同时测准。 记 可以证明： 特别地有： 四 利用经典力学和测不准关系修正可以估算量子体系地能级，尤其是基态能级。 第二部分 例题讲解 例题1 试证明测不准关系式。 已知 则 证明：考虑下列积分 为体系任一波函数，为任一实参数。利用算符和的厄米性以及为实数，上面不等式左边可写为： = = 不妨取实参数 则 所以 或 简记为 例题二 质量为m、速度为V、能量为的粒子沿x轴方向运动，其位置的测量误差为，设，试由测不准关系，导出能量与时间的测不准关系： 解： 因为 所以 又 得 则 例题三 试利用测不准关系估算 [1] 氢原子的基态能级，设 [2] 类氢离子得基态能，其中： 解： [1] 按经典力学观点氢原子能量是，由于经典力学中r和p可以同时确定，即允许，于是且p=0时氢原子能量最低（），这显然不符合实验事实。 事实上由于粒子的波粒二象性，当氢原子处于一确定状态中时，r和p不能同时有确定值。有 ，因此 使得在最佳得下氢原子能量最低。于是令 得： 那么： [2] 利用可得 令 得： 其中为精细结构常数。 那么 例题四 粒子在一维空间中运动，势场为 试用测不准关系估算基态能量。 解：经典力学中由 得 令 得 那么 所以基态能量为 所以 例如 ： （注：精确值是：） 与精确值一致 第三部分 练习 利用测不准关系估算下列体的基态能量： [1] 一维无限深势阱中运动粒子的基态能量； [2] 一维线性谐振子的基态能； [3] 在势场中运动的质量是m的粒子基态能。 （答案： ） 1