将军饮马模型(终稿).docx

将军饮马模型 将军饮马模型 PAGE PAGE 1 将军饮马模型 将军饮马模型 一、背景知识： 【传说】 早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者， 位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题． 将军每天从军营 A 出发， 先到河边饮马， 然后再去河岸同侧的军营 名叫海伦 ．一天，一 B 开会， 应该怎样走 才能使路程最短？这个问题的答案并不难， 被称为“ 将军饮马 ”的问题便流传至今． 据说海伦略加思索就解决了它． 从此以后， 这个 【问题原型】将军饮马 造桥选址 费马点 【涉及知识】两点之间线段最短，垂线段最短； 三角形两边三边关系； 轴对称 ；平移； 【解题思路】找对称点，实现折转直 二、将军饮马问题常见模型 1. 两定一动型： 两定点到一动点的距离和最小 例 1：在定直线 l 上找一个动点 最小 . P，使动点 P 到两个定点 A 与 B 的距离之和最小， 即 PA+PB 作法 ：连接 AB ，与直线 l 的 交 点 Q， Q 即为所要寻找的点，即当动点 P 跑到了点 Q 处 ， PA+PB 最小，且最小值等于 AB. 原理： 两点之间线段最短。 证明：连接 AB ，与直线 l 的 交点 Q， P 为直线 l 上任意一点， 在⊿ PAB 中，由三角形三边关系可知： AP+PB ≧ AB( 当且仅当 PQ 重合时取﹦ ) 例 2：在定直线 l 上找一个动点 P，使动点 P 到两个定点 A 与 B 的距离之和最小， 即 PA+PB 的和最小 . 关键：找对称点 作法：作定点 B 关于定直线 l 的对称点 C，连接 AC ，与直线 l 的交点 Q 即为所要寻找的点，即当动点 P 跑到了点 Q 处， PA+PB 和最小，且最小值等于 AC. 原理： 两点之间，线段最短 证明：连接 AC ，与直线 l 的 交点 Q， P 为直线 l 上任意一点， 在⊿ PAC 中，由三角形三边关系可知： AP+PC≧ AC( 当且仅当 PQ 重合时取﹦ ) 两动一定型 例 3：在∠ MON 的内部有一点 A ，在 OM 上找一点 B ，在 ON 上找一点 C，使得△ BAC 周长最短． 作法： 作点 A 关于 OM 的对称点 A’，作点 A 关于 ON 的对称点 A’’，连接 A’ A ’，’与 OM 交于点 B，与 ON 交于点 C，连接 AB ， AC ，△ ABC 即为所求． 原理： 两点之间，线段最短 例 4：在∠ MON 的内部有点 A 和点 B，在 OM 上找一点 C，在 ON 上找一点 D，使得四边形 ABCD 周长最短． 作法： 作点 A 关于 OM 的对称点 A’，作点 B 关于 ON 的对称点 B’，连接 A’ B，’与 OM 交于点 C，与 ON 交于点 D，连接 AC ， BD ， AB ，四边形 ABCD 即为所求． 原理： 两点之间，线段最短 两定两动型最值 例 5：已知 A 、B 是两个定点， 在定直线 l 上找两个动点 M 与 N，且 MN 长度等于定长 d（动点 M 位于动点 N 左侧），使 AM+MN+NB 的值最小 . 提示：存在定长的动点问题一定要考虑平移 作法一： 将点 A 向右平移长度 d 得到点 A’， 作 A’关于直线 l 的对称点 A’’，连接 A’’B，交直线 l 于点 N，将点 N 向左平移长度 d， 得到点 M。 作法二 ：作点 A 关于直线 l 的对称点 A 1，将点 A1 向右平移长度 d 得到点 A 2，连接 A 2 B， 交直线 l 于点 Q，将点 Q 向左平移长度 d，得到点 Q。 原理： 两点之间，线段最短，最小值为 A’’B+MN 例 6： （ 造桥选址 ）将军每日需骑马从军营出发，去河岸对侧的瞭望台观察敌情，已知河流的宽度为 30 米，请问，在何地修浮桥，可使得将军每日的行程最短？ 例 6：直线 l1∥ l2，在直线 l1 上找一个点 C，直线 l2 上找一个点 D ，使得 CD ⊥l 2, 且 AC ＋ BD ＋CD 最短． 作法： 将点 A 沿 CD 方向向下平移 CD 长度 d 至点 A’，连接 A’B，交 l 2 于点 D，过点 D 作 DC ⊥ l 2 于点 C，连接 AC ．则桥 CD 即为所求．此时最小值为 A’B+CD 原理： 两点之间，线段最短， 垂线段最短型 例 7：在∠ MON 的内部有一点 A ，在 OM 上找一点 B，在 ON 上找一点 C，使得 AB ＋ BC 最短． 原理： 垂线段最短 点 A 是定点， OM ， ON 是定线， 点 B 、点 C 是 O