《二次函数与一元二次方程根的分布教案.docx

班级：一对一所授年级+科目： 高一数学授课教师：课次：第次学生：上课时间：教学目标掌握二次函数与一元二次方程根的分布教学重难点一元二次方程根的分布二次函数与一元二次方程根的分布讲义二次方程的根从几何意义上来说就是抛物线与轴交点的横坐标，所以研究方程的实根的情况，可从的图象上进行研究．若在内研究方程的实根情况，只需考察函数与轴交点个数及交点横坐标的符号，根据判别式以及韦达定理，由的系数可判断出的符号，从而判断出实根的情况．若在区间内研究二次方程，则需由二次函数图象与区间关系来确定．1．二次方程有且只有一个实根属于的充要条件若其中一个是方程的根，则由韦达定理可求出另一根．若不是二次方程的根，二次函数的图象有以下几种可能： （1）　 （2）（3） （4）由图象可以看出，在处的值与在处的值符号总是相反，即；反之，若，的图象的相对位置只能是图中四种情况之一．所以得出结论：若都不是方程的根，记，则有且只有一个实根属于的充要条件是．2．二次方程两个根都属于的充要条件方程的两个实根都属于，则二次函数的图象与轴有两个交点或相切于点，且两个交点或切点的横坐标都大于小于，它的图象有以下几种情形： （1） （2）（3） （4）由此可得出结论：方程的两个实根都属于区间的充要条件是：这里 ．同理可得出：3．二次方程的两个实根分别在区间的两侧（一根小于，另一根大于）的充要条件是：这里．4．二次方程的两个实根都在的右侧的充要条件是：二次方程的两个实根都在的左侧（两根都小于）的充要条件是：这里．例１．设关于的方程R），（1）若方程有实数解，求实数b的取值范围；（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解。分析：可用换元法，设，原方程化为二次方程，但要注意，故原方程有解并不等价于方程有解，而等价于方程在内有解．另外，方程有解的问题也可以通过参变分离转化为求值域的问题，它的原理是：若关于的方程有解，则的值域．解：（1）原方程为，，时方程有实数解；（2）①当时，，∴方程有唯一解；②当时，.的解为；令的解为；综合①、②，得1）当时原方程有两解：；2）当时，原方程有唯一解；3）当时，原方程无解。例２．已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0).若方程f(x)=x无实根，求证：方程f[f(x)]=x也无实根．证明：方程f(x)=x即f(x)-x=ax2+(b-1)x+c=0无实根，f(x)-x仍是二次函数，f(x)-x=0仍是二次方程，它无实根即Δ=(b-1)2-4ac＜0 　　①若a＞0，则函数y=f(x)-x的图象在x轴上方， 　　∴y＞0，即f(x)-x＞0恒成立，即：f(x)＞x对任意实数x恒成立。 　　∴对f(x)，有f(f(x))＞f(x)＞x恒成立,　∴f(f(x))=x无实根 　　②若a＜0，函数y=f(x)-x的图象在x轴下方 　　∴y＜0，即f(x)-x＜0恒成立 ,∴对任意实数x，f(x) ＜0恒成立 　　∴对实数f(x)，有：f(f(x))＜f(x)＜x恒成立 ,∴f(f(x))=x无实根 综上可知，当f(x)=x无实根时，方程f(f(x))=x也无实根．例３．设，，若，求实数的取值范围．分析：观察到方程有两个实根，故此题不妨用求根公式来解决．解：因有两个实根，，故等价于且，即且，解之得．变式：已知方程x2 + (3m-1)x + (3m-2)=0的两个根都属于( -3, 3)，且其中至少有一个根小于1，求m的取值范围．解：原方程即为 (x + 1)(x + 3m-2)=0，所以方程两根分别为-1, 2-3m，而-1在(-3,1)上，则由题意，另一根满足 -32-3m3 - m .例４．已知方程有两个负根，求的取值范围．解：依题意有　　　．例５．求实数的范围，使关于的方程．（１）有两个实根，且一个比２大，一个比２小．（２）有两个实根，且满足．（３）至少有一个正根．解：设．依题意有，即，得．依题意有　　　　　　　　解得：．　　（３）方程至少有一个正根，则有三种可能：①有两个正根，此时可得，即．②有一个正根，一个负根，此时可得，得．③有一个正根，另一根为０，此时可得　　．综上所述，得．例６． 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围.(2) 若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.解：(1)条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，则，∴实数m的范围是.(2)据抛物线与x轴交点落在区间 (0，1) 内，列不等式组 - m≤1-, ∴实数m的范围是.变式：已知方程2x