北大附中河南分校2012-2013年校本课程数学培优.doc

PAGE PAGE 1 北大附中河南分校2012-2013年校本课程数学培优 第三讲 三角形的“五心”问题 邱常远 三角形的五个“心” 1.重心：三角形三条中线交点. 2.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。 3.内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 是三角形的内切圆的圆心，称内心。 4.垂心：三角形三边上的高相交于一点. 5.旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点. 重心的性质: 1.在ABC中，中线AD交BC于D, G是重心，则AG=2GD 2.在中，A(x1,y1) B(x2,y2) C(x3,y3)的重心G坐标公式 3.若O是的重心，则=== 4.内角平分线定理：:在ABC中，AD是交A的平分线BC于D,则 三角形五“心”向量形式的充要条件 设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则 （1）为的外心. （2）为的重心. （3）为的垂心. （4）为的内心 === . 一、与三角形“四心”相关的向量问题 1：已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足, . 则P点的轨迹一定通过△ABC的 A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 2：已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足, . 则P点的轨迹一定通过△ABC的( ) A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 3：已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足,, 则动点P的轨迹一定通过△ABC的( ) A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心 4：已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足,, 则动点P的轨迹一定通过△ABC的( ) A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心 5：已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足, , 则动点P的轨迹一定通过△ABC的( ) A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心 6：三个不共线的向量满足= == 0，则O点是△ABC的( ) A. 垂心 B. 重心 C. 内心 D. 外心 7：已知O是△ABC所在平面上的一点，若, 则O点是△ABC的( ) A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 8：已知O是△ABC所在平面上的一点，若(其中P为平面上任意一点), 则O点是△ABC的( ) A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 9：已知O是△ABC所在平面上的一点，若，则O点是△ABC的( ) A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 10：已知O为△ABC所在平面内一点，满足，则O点是△ABC的( ) A. 垂心 B. 重心 C. 内心 D. 外心 11：已知O是△ABC所在平面上的一点， 若则O点是△ABC的( ) A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 12：已知O是△ABC所在平面上的一点，若，则O点是△ABC的( ) A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 13：已知O是△ABC所在平面上的一点，若(其中P是△ABC所在平面内任意一点)，则O点是△ABC的( ) A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 二、与三角形形状相关的向量问题 14：已知非零向量和满足且，则△ABC为( ) A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形 D. 等边三角形 15：已知O为△ABC所在平面内一点，满足，则△ABC一定是( ) A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 16：已知a, b, c分别为△ABC中∠A, ∠B, ∠C的对边，G为△ABC的重心，且, 则△ABC为( ) A.