关于一道数学高考题的多角度研究22.doc

关于一道数学高考题的多角度研究 2013年江苏省高考数学试卷第15题主要考查平面向量的加法、减法、数量积、三角函数的基本关系式、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力。满分14分。属于简单题中档题，学生因为缺乏灵活运用能力，出现比较多的丢分。据查本题满分14分，平均得8.4分。事实上对本题进行适当的延伸拓展、探究,作为一个专题教学，进行数学美的欣赏，不仅可以激发学生的数学兴趣，提高学生变题解答能力，同时对新课改背景下的探究学习和研究性学习也是非常必要的。 问题引入 原题： 15、（本小题满分14分） 已知向量。 （1）若，求证：； （2）设，若，求的值。 （1）证明：（方法一）由，得：，即。 又，所以，，故。 （方法二） 由，得：，即：， 化简，得：， ，所以。 （2） 可得： （方法一）由（1）得：，又，，故。 代入（2），得：，又，所以。 （方法二）,得：， 又，所以。故有：， 代入（1）式： 化简,得:. 从而. （方法三）两式和差化积，得： 可得：， 又，，所以。 代入（4）式，可得：，又，。 以上联立，解得：. 延伸与拓展设计 能否得到为什么？ 答：不可能，因为 （2）若，求证：的夹角。 解：由，得：，即。 又，所以，，所以的夹角是。 探究 若，，求的值； 解：由，得：，即。 又，所以，，因为，所以，所以。 但总体而言，“第15题”构思精巧，形式新颖，对学生智慧与能力的检测，远远高于对知识点本身的考查，这对今后中学数学教学应该教什么，怎么教，起到了积极的导向作用． 1、要注重数学“基本思想”和“基本活动经验” 中学的数学教学只注重基础知识、基本技能（简称“双基”）是不够的，还必须加上“基本思想”和“基本活动经验”．所谓“基本思想”，主要是指演绎与归纳，这应当成为整个数学教学的主线，它是高于那些针对具体问题的数学思想——函数与方程、分类讨论、等价转换、数形结合等的更上位的思想．所谓“基本活动经验”，主要是指学生在数学活动中亲身经历并逐步积累起来的解决数学问题的经验．新课程强调要培养学生的创新意识和创新能力，而创新能力依赖于三个方面：知识的掌握、思维的训练、经验的积累，三个方面同等重要．数学作为一门思维训练的学科，主要训练学生的两个能力——演绎能力和归纳能力．应该看到，现在的教育本质上是一种知识的教育，考察的是该教的内容是否教了，教了的知识是否掌握了．这样的教育是不全面的．教育应当以生为本，不仅要考虑学生知识的掌握，还要考虑身心的发展、思维的发展和能力的提升． 2、培养学生“智慧”比教学生“知识”更重要 “第15题”如果单凭数学知识是无法解决的，它更需要的是智慧．因为知识本质上只是一种结果，可能是一种经验的结果，也可能是一种思考的结果．而智慧并不表现在这两种结果之上，而是表现在经验和思考的过程之中，如对问题的处理、对困难的化解以及对实质的思考．由此可见，智慧是融知识、经验和思维为一体的，是人们实现创新的心理机制．新课标之所以倡导三维教学目标，正是考虑到了智慧形成的基本规律，即知识是可以传递的，而智慧是无法传递的，智慧的形成并不完全依赖于知识的多少，而是依赖于知识的运用、依赖于个人的经验．一个人的智慧的发展，需要到实际操作中去感悟、去积累、去反思．因此，要培养学生“智慧”，务必重视学生的“做中学”，正如富兰克林所说，听到的我会忘记，看到的我会记住，参与的我能理解并会运用． 3、要大胆地去掉一些形式化的东西，适度淡化技巧训练 数学教学过分强调形式化不利于学生思考，如把一些思考的过程编成“口诀”或“顺口溜”让学生去记忆，这种方法会把数学搞歪掉，就会走向“八股”．还应该明确技巧不等于技能，现在我们的教学中反复训练的是技巧而不是技能．技巧是对一个具体例子或很窄的范围才适用的方法，而技能是可以迁移的，可以举一反三．过多地训练技巧，会增加学生记忆的负担，对学生智慧的发展没多大益处．熟能生“巧”走过了头会熟能生“笨”． 是否可以这样理解，“第15题”给我们传递了这样一个信息，假如中学数学教学中能在继续保持传统的“双基教学”这个核心的同时，再添进数学的“基本思想”和“基本活动经验”，那么就会改善我们的教学中重“演绎推理”轻“归纳推理”这种顾此失彼的局面，进而使数学的学科价值得到更好的体现．