例谈数形结合思想在数学解题中的应用+济川中学+钟凤婷.doc

例谈数形结合思想在数学解题中的应用 东莞市济川中学 钟凤婷 【】【】函数，则关于的方程 有7个不同实数解的充要条件是（ ） 分析：同上题方法，联想图象的交点，由的图象可知要使方程有7个解，应有有3个解，有4个解。 故选（C） 例2 方程的根的个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 分析：令 在同一坐标系中作出两个函数与的 图象（如图）由图可知两曲线只有一个公共点，故方程只有一个解。 2 数形结合思想在“不等式”中的应用 近年的高考强调不等式基础知识考查的同时也很注重数学能力的考查和数学思想方法的应用，其中数形结合思想方法的应用不可忽视。所以在不等式的教学或复习中要有意识注意数形结合思想方法的渗透。 例3 （04年湖南高考题）设分别是定义在R上的奇函数和偶函数， 当时，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 分析： 根据以上特点，不妨构造如图所示的符合题意的函数F（x）的图象， 由图直接观察出所求解集是 例4 分析：本题若用常规解法，要分两种情形： 比较麻烦，若能用数形结合解法，则比较有新意，具体解题如下： 3 数形结合思想在“线性规划”中的应用 线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题. 从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用，如图， 由恒成立知，当时，恒成立，当成立； 当时，恒成立，∴；同理， ∴以,b为坐标点P（，b）所形成的平面区域是一个正方形，所以面积为1. 如图： 例6 已知满足不等式;试求f（－2）的取值范围。 错解：由得： ①; ② ①+②得： ；∴ ③ （－1）×②+①得：④ 由③、④得： 分析：等号成立的条件不同，不等式变换是不等价变换，实质上扩大了解的范围。下面用线性规划思想解决此题：此题是不等式问题，将其用数形结合的方法转化为线性规划问题更为简单准确. 正解：约束条件： 目标函数： z＝4a－2b ∴，即 从上面二图可以看出：错解扩大了可行域，导致解的范围扩大。 4 数形结合思想在“点到直线的距离公式”中的应用 例7（02北京高考题）已知是直线上的动点，是的两条切线，是切点，是圆心，求四边形面积的最小值。 分析：直接求解较难，如能联想点到直线的距离公式，数形结合， 以形助数，则更简洁。 要使面积最小，只需最小，即定点到定直线上动 点距离最小即可.即点到直线的距离， 而 5 数形结合思想在“立体几何”中的应用 构建立体几何模型，研究代数问题，研究图形的形状、位置关系、性质等 例8（04年广东高考题）?图1有面积关系 则由图2有体积关系：__________.?解： 分析：本题注重考查图形分析能力.思维方式上从平面向空间拓展，面积与体积类比，直观类比与猜想并举.体现了高考题以能力立意考查注重素质的命题原则. 例9 若三棱锥A-BCD侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与ΔABC组成的图形可能是（ ） 分析：此题将立体几何与解析几何巧妙结合，是对过去分离考核的创新。可先考虑特殊图形，当AC⊥平面BCD时，如图1，将问题转化为P到AB的距离和BC距离相等的点的轨迹，显然P点轨迹是∠ABC的平分线。 当AC不垂直平面BCD时如图（2）的P到平面DBC和边BC的距离分别为h，dBC,设A-BC-D的大小为，故选D. 6 数形结合思想在“解析几何”中的应用 例10 （04年湖北高考题）如图所示，已知椭圆=1的 左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若F1，F2，P是一个 直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（ ）.? 分析：以Ｏ为圆心以ＯＦ1为半径画圆，可知此圆与椭圆无交点，则△Ｆ1Ｆ2P中∠ＰＦ1Ｆ2（或∠ＰＦ2Ｆ1）为直角，如此求出Ｐ点坐标即得yp=±，故选Ｄ.本题以作图直观判断为突破口，直觉与逻辑推理互动，化解析几何问题为平面几何问题，化计算为判断，在理性的高度认识问题. 例例12 已知那么下列命题正确的是（ ） A、若、是第一象限角，则 B、若、是第二象限角，则 C、若、是第三象限角，则 D、若、是第四象限角，则 分析：考察选项A，作单位圆， 如图，OA、OB分别为角、的终边， ∵OC为的余弦线，OD为的余弦线， 则有知A错，依次判断知选D。 例13 解不等式 分析:从不等式的两边表达式我们可以看成两个函数在上做出它们的图像（图8）,得到四个不同的交点,横坐标分别为:,而当在区间内时,的图像都在的图像上方．所以可得到原不等式的解集为：． 8 数形结合思