数控技术(插补)第四章.ppt

第四章 数控加工与编程的数值计算方法 数控加工与数控编程实质上是曲线、曲面几 何学在机械制造业的应用。 数控加工中，有简单曲线和曲面（如直 线、圆弧及球面等）数学描述及处理；还有不 能用二次方程描述的、形状复杂的曲线或曲面 →自由曲线或自由曲面。 4.1 基点和节点计算 机械零件由几种不同几何元素构成的，如，直 线、圆弧、二次曲线等。 基点：各个几何元素之间的连接点，如：直线与直 线的交点，直线与圆弧的交点或切点，圆弧与圆弧的 交（切）点，圆弧与一般二次曲线的交（切）点等。 对于直线和圆弧组成的平面零件，由于数控系统 都有直线和圆弧插补功能，数值计算较简单，主要是 确定基点坐标、圆弧的中心坐标。 有了基点的坐标，就可编写出这些直线和圆弧的加工 程序。 4.1.1 节点的计算 对于自由曲线，一般的数控系统不具备自由 曲线的插补功能，做法是：即将这类轮廓曲线 按编程允差分割成许多小段，用直线或圆弧来 代替(即逼近)这些曲线小段。 节点：逼近直线或圆弧小段与轮廓曲线的交点 或切点称为节点。 数值计算的任务就是求算节点的坐标。 4.1.2 非圆曲线的节点计算 非圆曲线：除直线、与圆外，可用y=f(x)表示的平面 曲线。 节点的数目及其坐标值取决于曲线的特性，逼近 线段的形状及允许的迫近误差δ允。根据这三方面的 条件、可用数学方法求出各节点的坐标。 是用直线还是圆弧作为逼近线段，则应考虑在保 证逼近精度的前提下，使节点数目少，计算简单。 1）曲率半径大的曲线用直线逼近较为有利； 2）曲线某段接近圆弧，用圆弧逼近有利； 常用的逼近线段与节点计算方法有以下几种。 1.等间距直线逼近法 方 法：使每一个程序段中的某一个坐标的增量相等。 直角坐标系：令x坐标的增量相等； 极坐标系：令转角坐标的增量相等，也可令向径长度的 增量相等。 图中为加工一个凸轮时，x坐标按 等间隔分段时节点的分布情况。 间距的大小一般根据零件加工精度 凭经验选取。 2.等弦长直线逼近法 方法：使每个程序段的直线段长度相等。 由于零件轮廓曲线各处的曲率不同，因此，各段 的逼近误差不相等，必须使最大误差仍小于δ允。 一般说来，零件轮廓曲线的曲率半径最小的地方， 逼近误差最大。先确定曲率半径最小的位置，然后在该 处按照逼近误差小于等于δ允 的条件求出逼近直线段的长度， 用此弦长分割零件的轮廓曲线， 即可求出各节点的坐标。 3.等误差直线逼近法 该法是使每个直线段的逼近误差相等，并 小于或等于δ允。所以上面两种方法都合 理，程序段数更少。大型、复杂的零件轮廓采用这种方法较合理。 4.圆弧逼近法 如果数控机床有圆弧插补功能，可用圆弧去逼近工件 的轮廓曲线。 但需要求每段圆弧的圆心、 起点、终点的坐标值及圆弧半径。 节点的计算依据： 圆弧段与工件轮廓曲线间的误差 ≤δ允。 4.2 三次参数样条曲线 某些零件，如机翼外形、内燃机进排气门的凸轮曲线等，对外形的光顺性要求较高，曲线的光顺性就意味着曲线的导数要连续。如果要求曲线的一阶和二阶导数都是连续的，这可用三次样条曲线。 样条：最初是在造船业中放样用的一根木料或塑料做成的弹性长条，放样员利用它通过型值点画出光滑的曲线，样条曲线便由此而得名。 下面介绍三次参数样条曲线。 4.2.1.三次样条曲线 定义：在区间[a，b]上给定n个点：x1,x2,…xn， 得到a=x1＜x2 ＜… ＜xn=b,称在区间[a，b]上满 足下列条件的函数S(x）为三次样条函数： 1）在每一个子区间[xi,xi+1](i=1,2…n-1)上，S(x)都是三 次函数。 2）在整个区间[a,b]上，S(x)连续，且具有连续的一阶 和二阶导数。 则称S(x)为[a，b]上，以xi (i=1,2,…n)为节点的三次样条 函数。 1.三次参数样条曲线方程 曲线、曲面有显式、隐式和参数表示，从计算机图形 学和计算几何的角度看，参数表示较好。 曲线上每一点的笛卡尔坐标的参数是： x＝x (t) y ＝y (t) 曲线上一点的参数表达式为： p (t) ＝[x (t), y (t)] 工程上常用以弦长t为参数的三次样条函数。 已知两端点 ，得到一条