2010届高三一轮复习数学精品资料5.5正弦定理和余弦定理.doc

§5.5 正弦定理和余弦定理 基础自测 1.（2008·陕西理，3）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c=，b=，B=120°,则a等于 （ ） A. B.2 C. D. 答案 D 2.（2008·福建理，10）在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a2+c2-b2）tanB=ac，则角B的值为( ) A. B. C.或 D.或 答案 D 3.下列判断中正确的是 （ ） A.△ABC中，a=7，b=14，A=30°,有两解 B.△ABC中，a=30,b=25,A=150°，有一解 C.△ABC中，a=6,b=9，A=45°，有两解 D.△ABC中，b=9,c=10,B=60°,无解 答案 B 4.在△ABC中，A=60°,AB=5,BC=7,则△ABC的面积为 . 答案 5.（2008·浙江理，13）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若（b-c）cosA=acosC，则cosA= . 答案 例1 在△ABC中，已知a=,b=,B=45°,求A、C和c. 解 ∵B=45°＜90°且asinB＜b＜a,∴△ABC有两解. 由正弦定理得sinA== =, 则A为60°或120°. ①当A=60°时，C=180°-(A+B)=75°, c====. ②当A=120°时，C=180°-(A+B)=15°, c====. 故在△ABC中，A=60°,C=75°,c=或A=120°,C=15°,c=. 例2 在△ABC中，a、b、c分别是角A，B，C的对边，且=-. （1）求角B的大小； （2）若b=，a+c=4，求△ABC的面积. 解 （1）由余弦定理知：cosB=，cosC=. 将上式代入=-得: ·=- 整理得:a2+c2-b2=-ac ∴cosB== =- ∵B为三角形的内角，∴B=. （2）将b=,a+c=4,B=代入 b2=a2+c2-2accosB,得b2=(a+c)2-2ac-2accosB ∴b2=16-2ac,∴ac=3. ∴S△ABC=acsinB=. 例3 （12分）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2-a2+bc=0. （1）求角A的大小； （2）若a=，求bc的最大值； （3）求的值. 解 （1）∵cosA===-, 1分 又∵A∈（0°，180°）， ∴A=120°. 2分 （2）由a=,得b2+c2=3-bc, 又∵b2+c2≥2bc（当且仅当c=b时取等号）， ∴3-bc≥2bc(当且仅当c=b时取等号）. 4分 即当且仅当c=b=1时，bc取得最大值为1. 6分 （3）由正弦定理得：2R, ∴ 8分 = 9分 = 10分 = 11分 =. 12分 例4 在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果（a2+b2）sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)，判断三 角形的形状. 解 方法一 已知等式可化为 a2［sin(A-B)-sin(A+B)］ =b2［-sin(A+B)-sin(A-B)］ ∴2a2cosAsinB=2b2cosBsinA 由正弦定理可知上式可化为： sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinA ∴sinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0 ∴sin2A=sin2B,由0＜2A,2B＜2 得2A=2B或2A=-2B, 即A=B或A=-B,∴△ABC为等腰或直角三角形. 方法二 同方法一可得2a2cosAsinB=2b2sinAcosB 由正、余弦定理,可得 a2b= b2a ∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2) 即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0 ∴a=b或a2+b2=c2，∴△ABC为等腰或直角三角形. 1.（1）△ABC中，a=8,B=60°,C=75°,求b; （2）△ABC中，B=30°,b=4,c=8,求C、A、a. 解（1）由正弦定理得. ∵B=60°,C=75°,∴A=45°, ∴b==4. （2）由正弦定理得sinC==1. 又∵30°＜C＜150°,∴C=90°. ∴A=180°-(B+C)=60°,a==4. 2.已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S，且2S=(a+b)2-c2，求tanC的值. 解 依题意得absinC=