[精品课件]《数电》48学时第02章_逻辑代数基础-(1-75).ppt

第二章 逻辑代数基础 2.1 概述 基本概念 逻辑：事物的因果关系 二值逻辑：只有两种对立逻辑状态的逻辑关系 在二值逻辑中的变量取值： 0/1 逻辑运算：根据事物的因果关系进行的推理运算 逻辑代数：逻辑运算的数学基础 1849年英国数学家乔治·布尔(George Boole)首先提出了进行逻辑运算的数学方法——布尔代数。 后来，由于布尔代数被广泛应用于解决开关电路和数 字逻辑电路的分析与设计中，所以也将布尔代数称为开关代数或逻辑代数。 逻辑代数就是布尔代数在二值逻辑电路中的应用。 虽然有些逻辑代数的运算公式在形式上和普通代数的运算公式雷同，但是两者所包含的物理意义有本质的不同。逻辑代数中也用字母表示变量，这种变量称为逻辑变量。逻辑运算表示的是逻辑变量以及常量之间逻辑状态的推理运算，而不是数量之间的运算。 在二值逻辑中，每个变量的取值只有0和1两种可能，只能表示两种不同的逻辑状态，我们能够通过采用多变量的不同状态组合表示事物的多种逻辑状态，达到处理任何复杂的逻辑问题的目的。 2.2 逻辑代数中的三种基本运算 与（AND） 或（OR） 非（NOT） 逻辑与（逻辑相乘） （注意没有逻辑除） 条件同时具备，结果发生 Y=A AND B = AB=A·B=AB 逻辑或（逻辑相加） （注意没有逻辑减） 条件之一具备，结果发生 Y= A OR B = A+B 逻辑非（逻辑求反） 条件不具备，结果发生 几种常用的复合逻辑运算 与非 或非 与或非 几种常用的复合逻辑运算 异或 几种常用的复合逻辑运算 2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式 2.3.1 基本公式 2.3.2 常用公式 2.3.1 基本公式 根据与、或、非的定义，得表2.3.1的布尔恒等式 公式（17） A + B C = (A +B)(A +C)的证明（公式推演法）： 公式（17） A + B C = (A +B)(A +C)的证明（真值表法）： 2.3.2 若干常用公式 表2.3.3中列出了几个常用公式。这些公式是利用基本公式导出的。直接运用这些导出公式可以给化简逻辑函数的工作带来很大方便。各式证明如下： 1．式(21) A+A·B=A 证明： A+A·B=A·(1+B)=A·1=A 上式说明，在两个乘积项相加时，若其中一项以另一项为因子，则该项是多余的，可以删去。 2．式(22) A+A’·B=A+B 证明： A+A’·B=(A+A’)·(A+B)=1·(A+B)=A+B 这一结果表明，两个乘积项相加时，如果一项取反后是另一项的因子．则此因子是多余的．可以消去。 3．式(23)A·B+A·B’=A 证明：A·B+A·B’；A(B+B’)=A·I=A 这个公式的含义是，当两个乘积项相加时，若它们分别包含B和B’两个因子而其他因子相同，则两项定能合并，且可将B和B’两个因子消去。 4．式(24) A·(A+B)=A 证明：A·(A+B)=A·A+A·B=A+A·B=A·(1+B)=A·l=A 该式说明，变量A和包含A的和相乘时，其结果等于A，即可以将和消掉。 5．式(25) A·B+A’·C+B·C=A·B+A’·C 证明： A·B+A’·C+B·C=A·B+A’·C+B·C(A+A’) =A·B+A’·C+A·B·C+A’B·C=A·B·(1+C)+A’·C·(1+B)=A·B+A’·C 该式说明，若两个乘积项中分别包含A和A’两个因子，而这两个乘积项的其余因子组成第三个乘积项时，则第三个乘积项是多余的，可以消去。可以再导出 A·B+A’·C+B·C·D = A·B+A’·C 6．式(26) A·(A·B)’=A·B’ ；A’ ·(A·B)’=A’ 证明：A·(A·B)’=A·(A’+B’)=A·A’+A·B’=A·B’ 该式说明，当A和一个乘积项的非相乘，且A为乘积项的因子时，则A这个因子可以消去。 A’·(A·B)’=A’·(A’+B’)=A’A’+A’·B’=A’·(1+B’)=A’ 此式表明，当A’和一个乘积项的非相乘，且A为乘积项的因子时，其结果就等于A’。 2.4 逻辑代数的基本定理 2.4.1 代入定理 在任何一个包含A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中所有A的位置，则等式依然成