26.(2011四川宜宾,24,12分)已知抛物线顶点是C(0,a)(a.doc

26. （2011四川宜宾,24，12分）已知抛物线的顶点是C（0，a）（a＞0,a为常数），并经过点（2a,2a）,点D(0，2a)为一定点． ⑴求含有常数a的抛物线的解析式； ⑵设点P是抛物线上任意一点，过P作PH⊥x轴，垂足是H，求证：PD=PH； ⑶设过原点O的直线与抛物线在第一象限相交于A、B两点，若DA=2DB，且,求a的值． （24 （24题图） 【答案】解：⑴设抛物线的解析式为 ∵点D（2a，2a）在抛物线上， ∴ ∴抛物线的解析式为 ⑵设抛物线上一点P（x,y），过P作PH⊥x轴，PG⊥y轴， 在中，由勾股定理得： ∵ ∴ ∴ ∴PD=PH. ⑶过B点BE⊥x轴，AF⊥y轴， 由⑵的结论：BE=DB AF=DA ∵DA=2DB ∴AF=2BE ∴AO=2BO ∴B是OA的中点 ∵C是OD的中点 连接BC ∴ 过B作BR⊥y轴， ∵BR⊥CD ∴CR=DR, ， （第24题 （第24题解答图） ∴ ∴ ∵ ∴ ∴B（，） AO=2OB, ∴ 所以， ∴， ∵ ∴ 27. （2011江西南昌，24，10分）将抛物线c1：y=-x2+沿x轴翻折，得抛物线c2,如图所示. （1）请直接写出抛物线c2的表达式. （2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D，E. ①当B，D是线段AE的三等分点时，求m的值； ②在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由. 备用图 【答案】解：(1)y=x2-. (2)①令-x2+=0，得x1=-1,x2=1,则抛物线c1与x轴的两个交点坐标为（-1，0），（1，0）.∴A（-1-m，0），B（1+m,0）. 当AD=AE时，如图①，（-1+m）-（-1-m）=[(1+m)-(-1-m)], ∴m= 当AB=AE时，如图②，（1-m）-（-1-m）=[(1+m)-(-1-m)], ∴m=2. ∴当m=或2时，B，D是线段AE的三等分点. ②存在.理由：连接AN、NE、EM、MA.依题意可得：M（-m，-）.即M，N关于原点O对称，∴OM=ON.∵A（-1-m，0），E（1+m，0），∴A，E关于原点O对称，∴OA=OE，∴四边形ANEM为平行四边形.要使平行四边形ANEM为矩形，必需满足OM=OA，即m2+(）2=[-(-1-m)]2, ∴m=1. ∴当m=1时，以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形. 28. （2011江苏淮安，26，10分）如图，已知二次函数y= -x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为A(4,0)，与y轴交于点B. (1)求此二次函数关系式和点B的坐标； (2)在x轴的正半轴上是否存在点P，使得△PAB是以AB为底的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】解：（1）∵二次函数y= -x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为A(4,0)， ∴0= -42+4b+3， 解得b=， ∴此二次函数关系式为：y= -x2+x+3， 点B的坐标为B(0,3). （2）在x轴的正半轴上是否存在点P(,0)，使得△PAB是以AB为底的等腰三角形.理由如下： 设点P(x，0)，x＞0，则根据下图和已知条件可得 x2+ 32=(4- x)2， 解得x=， ∴点P的坐标为P(,0). 即，在x轴的正半轴上是否存在点P(,0)，使得△PAB是以AB为底的等腰三角形. 29. （2011湖北武汉市，25，12分）（本题满分12分）如图1，抛物线y=ax2＋bx＋3经过A（－3，0），B（－1，0）两点． （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为M，直线y=－2x＋9与y轴交于点C，与直线OM交于点D．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围； （3）如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q（0，3）作不平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点．问在y轴的负半轴上是否存在点P，使△PEF的内心在y轴上．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线y=ax2＋bx＋3经过A（－3,0），B（－1,0）两点 ∴9a－3b＋3＝0 且a－b ????解得a＝1?，??b?＝4 ∴抛物线的解析式为y=x2＋4x＋3 （2）由（1）配方得y=(x＋2)2－1 ∴抛物线的顶点M（－2，1） ∴直线OD的解析式为y=x ?于是设平移的抛物线的顶点坐标为（h，h）， ∴平移的抛物线解析式为y=（x－h）2