第三篇_拉氏变换.ppt

常用时间函数的拉氏变换 t n/n! 1/sn+1 原函数 f(t) 象函数F(s) δ(t) 1 ε(t) 1/s A A/s e -αtsinβt β/[(s+α)2 +β2] e-?t (?为实数或复数） 1/(s+?) (tn/n!) e-αt (?为实数或复数） 1/(s+α)n+1 cosβt s/(s2+ β2) sinβt β/(s2+ β2) e-αtcosβt (s+α)/[(s+α)2 + β2] 2|K|e-αtcos (βt+∠K) K/(s+α-jβ) + K*/(s+α+jβ) 5. 微分定理 ?[ f (n)(t)]=snF(s) 6. 积分定理 7. 终值定理 8. 初值定理 9. 卷积定理 ?[f(t)*g(t)]=G(s)H(s) 3 拉普拉斯反变换的计算 一、用待定系数法展开部分分式，求原函数f(t) 例1 求原函数f(t) 解： (1)对分母的s多项式进行因子分解 方程s2+3s+2=0的根为s1=-1、s2=-2 s2+3s+2=(s+1)(s+2) 常数K1和K2的数值应使上式成为s的恒等式 比较系数可得： K1+K2=8 2K1+K2=2 f(t)=L-1[F(s)]=(-6e-t+14e-2t) ε(t) 解得：K1=-6 K2=14 (3)拉氏反变换求得原函数f(t) 二、用展开定理展开部分分式，求原函数f(t) 例2 求原函数f(t) 解： 对分母的s多项式进行因子分解 s2+3s+2=(s+1)(s+2) 两边同乘以(s+1)得 令s = -1，则 同理： f(t)=L-1[F(s)]=(-6e-t+14e-2t) ε(t) 例3 求原函数f(t) 解： 求方程s2+4s+8=0的根 s1=-2+j2、s2=-2-j2 总结： 用展开定理求F(s)的原函数f(t)的一般步骤： (1)求方程F2(s)=0的根。假设有n个单根，分别为s1、s2、 … …、sn。 (2) F(s)可展开为： 式中K1、 K2、 … … Kn是待定系数。 (3) 确定系数K1、 K2、 … … Kn K1=[(s-s1)F(s)]s=s1 K2=[(s-s2)F(s)]s=s2 … … Kn=[(s-sn)F(s)]s=sn (4) f(t)=L-1[F(s)] ①如果s1、s2、 … …、sn为实根，则 ②如果有一对共轭复根， s1=?+j?、s2 =?-j?， K1=| K1 |ej? ，则K2= K*1= | K1 |e-j? ， 注：?为复根的实部，?为复根的虚部(正值)，| K1 |为系数K1的模， ?1为系数K1的辐角， s1=?+j?为虚部取正值的根。 例4 求原函数f(t) 解： 求方程s2+50s+105=0的根 s1=-25+j315 s2=-25-j315