三角函数的图象及其应用.doc

函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用 1.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点. 如下表所示. x ωx＋φ y＝ Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 2.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤如下： 　　　　　方法一 __________________________　　 __________________________　　 __________________________　　 　　　　方法二 ______________________________　 ______________________________　 ______________________________　　 以上两种方法的区别：方法一先平移再伸缩；方法二先伸缩再平移.特别注意方法二中的平移量. 一　三角函数的图象及变换 例1　已知函数y＝2sin. (1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y＝2sin的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到． (1)y＝2sin的振幅A＝2，周期T＝＝π，初相φ＝. (2)令X＝2x＋，则y＝2sin＝2sin X. 列表： X － X 0 π 2π y＝sin X 0 1 0 －1 0 y＝2sin 0 2 0 －2 0 描点连线，得图象如图所示： (3)将y＝sin x的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin 2x的图象；再将y＝sin 2x的图象向左平移个单位，得到y＝sin 2＝sin的图象；再将y＝sin的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y＝2sin的图象． 变式1　设f(x)＝cos2x＋sin xcos x＋sin2x (xR)． (1)画出f(x)在上的图象； (2)求函数的单调增减区间； (3)如何由y＝sin x的图象变换得到f(x)的图象？ 解　y＝·＋sin 2x＋· ＝1＋sin 2x－cos 2x＝1＋sin. (1)(五点法)设X＝2x－， 则x＝X＋，令X＝0，，π，，2π， 于是五点分别为，，，，，描点连线即可得图象，如下图． (2)由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，kZ， 得单调增区间为，kZ. 由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，kZ， 得单调减区间为，kZ. (3)把y＝sin x的图象向右平移个单位；再把横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)；最后把所得图象向上平移1个单位即得y＝sin＋1的图象． 二　求y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b的解析式的步骤： (1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝.(2)求ω.确定函数的周期T，则ω＝.(3)求参数φ是本题的关键，由特殊点求φ时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点． 例2　已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A0，ω0，|φ|，xR)的图象的一部分如图所示．求函数f(x)的解析式． 解　由图象可知A＝2，T＝8. ω＝＝＝. 方法一　由图象过点(1,2)， 得2sin＝2， sin＝1.|φ|，φ＝， f(x)＝2sin. 方法二　点(1,2)对应“五点”中的第二个点． ×1＋φ＝，φ＝， f(x)＝2sin. 变式　(2011·宁波模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A0，ω0，|φ|)的图象与y轴的交点为(0,1)，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0＋2π，－2)． (1)求f(x)的解析式及x0的值； (2)若锐角θ满足cos θ＝，求f(4θ)的值． 　解　(1)由题意可得： A＝2，＝2π，即＝4π，ω＝， f(x)＝2sin，f(0)＝2sin φ＝1， 由|φ|，φ＝.∴f(x)＝2sin(x＋)． f(x0)＝2sin＝2， 所以x0＋＝2kπ＋，x0＝4kπ＋ (k∈Z)， 又x0是最小的正数，x0＝. (2)f(4θ)＝2sin ＝sin 2θ＋cos 2θ， θ∈，cos θ＝，sin θ＝， cos 2θ＝2cos2θ－1＝－， sin 2θ＝2sin θcos θ＝， f(4θ)＝×－＝. 三　三角函数模型的简单应用 例3　已知海湾内海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y＝f(t)．下表是某日各时刻记录的浪高数据： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0