矩阵乘积逆﹝高等代数课件﹞.ppt

§4.4 矩阵的逆 一、可逆矩阵的概念 二、可逆矩阵的判定、求法 三、逆矩阵的运算规律 四、矩阵方程 一、引例 一、可逆矩阵的概念 定义 设A为n级方阵，如果存在n级方阵B，使得 AB＝BA＝E 则称A为可逆矩阵，称B为A的逆矩阵. 注： ① 可逆矩阵A的逆矩阵是唯一的，记作 ③ 单位矩阵 E 可逆，且 ② 可逆矩阵A的逆矩阵　　也是可逆矩阵，且 2. 逆矩阵的唯一性 若方阵 A 可逆，则其逆矩阵唯一 . 证明 设 B 和 C 都是 A 的逆矩阵，则由定义 有 AB = BA = E，AC = CA = E， 于是 B = BE = B( AC ) = ( BA )C = EC = C . 所以逆矩阵唯一. 证毕 三、矩阵可逆的条件 现在的问题是：在什么条件下矩阵 A 是可逆 的？ 如果 A 可逆，怎样求 A-1 ？ 为此先引入伴随 矩阵的概念. 二、矩阵可逆的判定及逆矩阵的求法 定义 1、伴随矩阵 称为A的伴随矩阵. 　 性质： 余子式，矩阵 设　 是矩阵　　　　　中元素 的代数 证：由行列式按一行（列）展开公式 立即可得, 同理, 非退化的），且 证：若　　　　由 所以，A可逆，且 两边取行列式，得 2、定理：矩阵A可逆当且仅当　　　 （即A 得 反过来，若A可逆，则有 则A、B皆为可逆矩阵，且 证： 由定理知，A、B皆为可逆矩阵. 从而　　　　 再由　　　　 即有， 3、推论：设A、B为 n 级方阵，若 例1 判断矩阵A是否可逆，若可逆，求其逆. 解：1）　 ∴ A可逆. 再由 有 ∴ 当　　　　　　　　　时，A可逆. 且由于 三、逆矩阵的运算规律 (5) 若A可逆，则 亦 可逆，且 (6) 若A可逆，则 亦 可逆，且 当 时，定义 注： 则有 设方阵 A 满足 证明： 与 皆可逆，并求其逆. 例2 由 即 故 A 可逆，且 再由 得 即 故 可逆，且 证： 得 五、克拉默法则的另一证法 利用矩阵的逆，可以给出克拉默法则的另一种 推导法. 线性方程组 可以写成 AX = B . (6) 如果 | A | ? 0，那么 A 可逆. 用 X = A-1B 代入 (6)，得恒等式 A( A-1B ) = B，这就是说 A-1B 是一解. 如果 X = C 是 (6) 的一个解，那么由 AC = B 得 A-1( AC ) = A-1B ， 即 C = A-1B . 这就是说，解 X = A-1B 是唯一的. 用 A-1 的公式 (4) 代入，乘出来就是克拉默法则中给出的公式. 四、矩阵方程 1. 线性方程组 令 则（1）可看成矩阵方程 若A为可逆矩阵，则 ① 矩阵方程 若A为可逆矩阵，则 2. 推广 ② 矩阵方程 若A为可逆矩阵，则 ③ 矩阵方程 若A, B皆可逆，则 3. 矩阵积的秩 定理4 若 可逆，则 证： 令 又P可逆， 由定理2， 有 故 例3 解矩阵方程 解： 一般地， 可逆 . 注: 练 习 已知 求矩阵B． 解：由 ，得 ，又 可逆，且 例 4 解下列矩阵方程 AXB = C 其中 解 由已知易得 X = A-1CB-1 , 下面求 A 和 B 的逆阵. 所以 例 5 设 n 级矩阵 A, B, A + B 均可逆, 证明 (A-1 + B-1)-1 = A(A + B)-1B = B(B + A)-1A. 证 将 A-1 + B-1 表示成已知的可逆矩阵的乘积: A-1 + B-1 = A-1(E + AB-1) = A-1(BB-1 + AB-1) = A-1(B + A)B-1 . 由可逆矩阵的性质可知 (A-1 + B-1)-1 = [A-1(A + B)B-1]-1 = B(B + A)-1A. 同理可证另一个等式也成立. 例 6 设 A 为 n 级方阵( n ? 2 ) ,证明 |A*| = |A|n-1. 证 由于 AA* = A*A = |A|E , 所以 |A| |A*| = |A|n (4) 下面分三种情形讨论: (1) |A| ? 0, 即 A 可逆, (4) 式两端除以 |A| 即 得 |A*| = |A|n-1. (2) |A| = 0, 且