高中必修课_数学辅导03.doc

第三章 函数的应用 第一节 函数与方程 一、重点 ⑴函数与方程的关系、函数与方程思想； ⑵零点的概念及存在性的判定； ⑶二分法求方程的近似解； ⑷函数建模。 二、难点 ⑴函数与方程的关系、函数与方程思想； ⑵零点的确定； ⑶函数建模。 三、重要概念 1、零点：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。 2、二分法：对于在区间，上连续不断·的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。 四、知识点 1、函数零点的意义 函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。 2、函数零点的性质 ⑴从“数”的角度看：即是使的实数； ⑵从“形”的角度看：即是函数的图象与轴交点的横坐标； ⑶若函数的图象在处与轴相切，则零点通常称为不变号零点； ⑷若函数的图象在处与轴相交，则零点通常称为变号零点。 3、二次函数的零点的判定 ⑴△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点； ⑵△＝０，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点； ⑶△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点。 4、函数方程思想的本质 ⑴方程的解”“函数的图象与轴交点的横坐标”； ⑵“方程的解”“函数的图象与的图象交点的横坐标。 5、函数零点(方程的根)的存在性定理 如果函数在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根。 注：①若恒成立，则没有零点；②函数零点(方程的根)的存在性定理又叫在区间内有零点的充分不必要条件。 5、一元二次函数的零点、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集之间的关系 注意：为了方便，在解一元二次不等式和一元二次方程时，把二次项系数化为正数： ⑴恒成立， 恒成立 ⑵的解集为R 的解集为R 6、给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤 ⑴确定区间，，验证·，给定精度； ⑵求区间，的中点； ⑶计算： ①若=，则就是函数的零点； ②若·，则令=（此时零点）； ③若·，则令=（此时零点）； ⑷判断是否达到精度，即若，则得到零点零点值（或）；否则重复步骤2-4，直到区间，，函数的零点总位于区间，上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止。这时函数的近似零点满足给定的精确度。 ⑸需要注意两方面的问题： Ⅰ.用二分法求曲线交点的坐标要注意两个问题 ①曲线交点坐标即为方程组的解，从而转化为求方程的根. ②求曲线和的交点的横坐标，实际上就是求函数的零点，即求方程的根。 Ⅱ.关于用二分法求函数的零点近似值的步骤须注意的问题： ①第一步中要使：A:区间长度尽量小；B:的值比较容易计算且； ②根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程根是等价的。对于求方程的根，可以构造函数，函数的零点即方程的根。 7、二次函数的基本性质 ⑴二次函数的三种表示法：y=ax2+bx+c；y=a(x－x1)(x－x2)；y=a(x－x0)2+n。a0，f(x)p，qm，令x0= (p+q)： 若－p，则f(p)=m，f(q)=Mp≤－x0，则f(－)=m，f(q)=Mx0≤－q，则f(p)=M，f(－)=m－≥q，则f(p)=M，f(q)=mf(x)=ax2+bx+c=0的实根分布及条件： ①方程f(x)=0的两根中一根比r大，另一根比r小a·f(r)0； ②二次方程f(x)=0的两根都大于r ③二次方程f(x)=0在区间(p，q)f(x)=0在区间(p，q)f(p)·f(q)0，或f(p)=0(检验)或f(q)=0(检验)检验另一根若在(p，q)内成立。 3、二分法是求方程根的近似值的计算方法，要注意“精确度”和“精确到”的不同要求。 4、恒成立问题常用“分离系数法”转化为函数的最值问题求解。 5、二次函数问题通常利用二次方程、二次 不等式之间的关系来处理,从而使方程问题函数化, 函数问题方程化，体现了函数与方程的思想。 6、在解决数学建模的有关问题时，一定要弄清题意，分清条件和结论,理顺数量关系;将文字语言翻译成数学语言,再变换成符号语言,进而根据题意列出相应的等式求解,将用数学方法得到的结论还原为实际问题，切记所求结论要符合客观实际。 常见重要的数学模型有：⑴二次函数解决有关最值问题； ⑵分式函数模型：y=x + (x≠0)y=N(H+p)x的模型解决有关增长率及利息等问题。 7、在解决函数与方程的有关问题时，常常利用数形结合思想进行解答。 七、举例 题型一：方程的根与函数零点 1、求函数的零点 [例1] 求函数的零点. [解题思路]求函数的零点就