第二章函数及其基本性质.doc

基础模块  PAGE 43 第二章 一元微分基础—极限与连续 教学目的： 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。 掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 教学重点： 1、复合函数及分段函数的概念； 2、基本初等函数的性质及其图形； 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则； 4、两个重要极限； 5、无穷小及无穷小的比较； 6、函数连续性及初等函数的连续性； 7、区间上连续函数的性质。 教学难点： 1、分段函数的建立与性质； 2、左极限与右极限概念及应用； 3、极限存在的两个准则的应用； 4、间断点及其分类； 5、闭区间上连续函数性质的应用。 §2.1 初等函数 函数是微积分基本对象，以后我们研究的大多都是初等函数的各种微积分性质.考虑到同学们已经在中学阶段学习过有关函数相关知识，这里我们只着重介绍与初等函数和将来函数性态研究需要对应内容.总体来说，本节内容是中学数学某些知识的复习、归纳和提高，更是将来我们学习大学数学的重要基础. 2.1.1 函数实用引人 现实生活和社会实践中，量与量的关系普遍存在.在某一个实际问题中，往往会遇到几个变量，它们并不是孤立地变化的，而是相互联系并按一定的规律依存.从数学上讲，我们必须建立模型来刻画量与量之间这种依存关系.下面从几个实例出发来体现一个问题中量与量之间关系. 1. 奥林匹克撑杆跳高问题 在奥林匹克运动会早期，撑杆跳高记录增加所达到的高度可近似地用表2.1表示，由于这一记录的高度有规律地每四年增加20cm,因此在1900-1912年期间，这一高度是时间的线性关系.该高度的初始值是3.33m,并且以每年5cm等值增加，试求每年撑杆跳高的记录是多少？ 表2.1 奥林匹克撑杆跳高记录（近似）年份1900190419081912高度（m）3.333.533.733.93 在这个问题中，撑杆跳高的记录与年份t之间的依存关系是 当时间t确定时，就有唯一的高度和它对应. 2. 运输问题 某运输公司规定货物的吨千米运价为：在km以内每千米k元,超过km 以上的部分每千米为元.在这个问题中运价m和里程s之间的依存关系是： 当里程s在不同范围取值时，都有唯一的运价m和它对应. 3.成本、收入与利润问题 在生产和产品的经营活动中，人们总希望尽可能降低成本，提高收入和利润.而成本、收入和利润这些经济变量都与产品的产量或销售量q密切相关.如果我们用表示总成本，表示收入, 表示利润，则它们与销售量q之间有下列依存关系： （1）总成本由固定成本和可变成本两部分组成.固定成本与产量q无关,如设备维修费、企业管理费等.可变成本随产量q的增加而增加,如原材料费、动力费等.即： 总成本 总成本函数是q的单调增加函数.最典型的成本与销售量q之间有关系： 只给出总成本不能说明企业生产的好坏，为了评价企业的生产状况，需要计算产品的平均成本，即生产q件产品时,单位产品成本平均值,记作: 则 ,其中称为可变单位成本. （2）如果产品的单位售价为p，销售量为q,则总收入函数为.总利润等于总收入与总成本的差,于是总利润与销售量q之间依存关系为=-. 2.1.2 函数概念 一. 函数概念 1. 函数定义 定义2.1 设，则映射：称为定义在上的函数，记为 ， 其中：称为函数的定义域，称为自变量，称为因变量. 称为函数的值域.函数常用，，，，，等表示，如，，等. 2. 关于函数概念的几点说明 （1）决定函数的两个关键因素是（1）函数对应关系,(2)函数定义域D. （2）函数的通常表示为，，有时在定义域不引起混淆的前提下可以省略不写，此时指的是使表达式有意义的所有自变量可能取值. （3）自变量与因变量只是表示两个不同的变量，可采用其它字母符号代替，如等等. （4）在同一个问题处理过程中，不同函数应采用不同的表达式，如等. （5）函数与定义域不可分