泊松分布的数学期望与方差.pdf

泊松分布的数学期望与方差 设随机变量 ，则 再计算 ， 故 一、 Poisson 分布的概念 Poisson 分布更多地专用于研究单位时间、单位人群、单位空间内，某罕见事件 发生次数的分布。 如某种细菌在单位容积空气或水中出现的情况， 某段时间特定人群中某种恶性肿 瘤患者的分布或出生缺陷的发病情况， 放射性物质在单位时间内的放射次数， 单 位空间某种昆虫数的分布等等。 Poisson 分布在 π 很小，样本含量 n 趋向于无穷大时， 二项分布的极限形式。 当试验中成功事件出现的概率很小，如 π＜0.05, 试验的次数 n 很大` 时，用二 X X n 项分布计算成功事件出现的次数 （=0，1，2，…, ）的概率很困难，用 Poisson 分布可简化计算。 Poisson 分布发展成为描述小概率事件出现规律性的一种重要 的离散型分布。 Poisson 分布的概率函数 X=1,2,3 …（7.13 ） 意义：单位时间（单位人群、单位空间内，单位容积）内，某罕见事件发生次数 的概率分布 式中 μ=n π 为 Poisson 分布的总体均数，总体中某单位中的平均阳性数， X 为 单位时间或单位空间内某事件的发生数（阳性数）， e 为自然对数的底，约等于 2.71828 。 （7.14 ） 二、 Poisson 分布的性质 1．Poisson 分布是一种单参数的离散型分布，其参数为 μ，它表示单位时间或 空间内某事件平均发生的次数，又称强度参数。 2 ．Poisson 分布的方差 σ2 与均数 μ相等，即 σ2= μ 3．Poisson 分布是非对称性的，在 μ不大时呈偏态分布，随着 μ 的增大，迅 速接近正态分布。一般来说，当 μ=20 时，可以认为近似正态分布， Poisson 分 布资料可按正态分布处理。 4 ．Poisson 分布的累计概率常用的有左侧累计和右侧累计两种。单位时间或空 间内事件发生的次数 最多为 k 次的概率 X （= 0,1,2, …） 最少为 k 次的概率 X （= 0,1,2, …） X P X 5．Poisson 分布的图形已知 μ，就可按公式计算得出 = 0，1，2，…时的 （ ） X P X 值，以 为横坐标，以 （ ）为纵坐标作图，即可绘出 Poisson 分布的图形， 如图 7.2 。 Poisson 分布的形状取决于 μ 的大小。 μ 值越小，分布越偏，随着 μ 的增大， 分布越趋于对称，当 μ=20 时，分布接近正态分布， 当 μ=50 时，可以认为 Poisson 分布呈正态分布 N （μ, μ），按正态分布处理。 由图 7.2 可以看到 Poisson 分布当总体均数 值小于 5 时为偏峰，