如何用初等方法求三角函数的最小正周期(已修改).doc

如何用初等方法求三角函数的最小正周期 重庆市綦江县三江中学 （邮编：401431） 周明煜 在三角函数中，求最小正周期是一个重要内容，有关求三角函数最小正周期的问题，在各种资料和各级各类试题中屡见不鲜，但是，由于现行教材中对其解法并未作出系统的介绍，导致许多同学把握不住解题要领，面对这些问题，常常显得束手无策。本文就此作一些探讨，给出求解三角函数最小正周期的几种常用的初等方法，供大家参考。 一 公式法 函数f(x)＝Asin(ωx+φ)和f(x)=Acos(ωx+φ)(A≠0,ω＞0）的最小正周期都是；函数f(x)＝Atan(ωx+φ)和f(x)=Acot(ωx+φ)(A≠0,ω＞0）的最小正周期都是，运用这一结论，可以直接求得形如y=Af(ωx+φ)(A≠0,ω＞0）一类三角函数的最小正周期（这里“f”表示正弦、余弦、正切或余切函数）。 例1 求下列函数的最小正周期： （1） f(x)＝2sin（πx＋1）。 （2） f(x)＝1-cos(4x）。 （3） f(x)＝tan(x). f(x)＝ 解：用T表示各函数的最小正周期，则： （1）T== T== T==3π f(x）的最小正周期和y1=1－2cot(2x－)的最小正周期相同，为T= 二 定义法 根据周期函数和最小正周期的定义，确定所给函数的最小正周期。 例2 求函数f(x)＝2sin（x－）的最小正周期。 解：把x－看成是一个新的变量z,那么2sinz的最小正周期是2π。由于z＋2π＝x-=(x＋4π)-。所以当自变量x增加到x＋4π且必须增加到x＋4π时，函数值重复出现。 ∴函数y=2sin(x-)的最小正周期是4π。 例3 求函数f(x)＝|sinx|－|cosx|的最小正周期。 解：根据周期函数的定义，易知2π、π都是这个的周期，下面证明π是这个函数的最小正周期。 设0＜T＜π是这个函数的周期，则|sin(x＋T )|－|cos(x＋T )|=|sinx|－|cosx| 　　　① 对于任意x∈R都成立，特别的，当x=0时也应成立。 ∴ |sinT|－|cosT|＝|sin0|－|cos0|＝－1。 但当0＜T＜π时，0＜|sinT|≤1，0＜|cosT|＜1，故有－1＜|sinT|－|cosT|≤1，矛盾，所以满足①且小于π的正数T不存在。故函数f(x)＝|sinx|－|cosx|的最小正周期是π。 三、最小公倍数法 求几个正弦、余弦和正切函数的最小正周期，可以先求出各个三角函数的最小正周期，然后再求期最小公倍数T,即为和函数的最小正周期。 例4 求下列函数的最小正周期： （1）f(x)＝sin3x+cos5x （2）f(x)＝cos x－sinx. （3）f(x)＝sinx＋tanx. 解：（1）∵sin3x的最小正周期为T1=,cos5x的最小正周期为T2=。而和的最小公倍数是2π. ∴f(x)的最小正周期为T=2π. （2) ∵cosx的最小正周期为T1=，-sinx的最小正周期为T2=4π。而和4π的最小公倍数是12π。 ∴f(x)＝cos x－sinx的最小正周期为T=12π. （3）∵sinx的最小正周期为T1=，tanx的最小正周期为T2=。而和的最小公倍数是70π。 ∴f(x)＝sinx＋tanx的最小正周期为T=70π. 说明：几个分数的最小公倍数，我们约定为各分数的分子的最小公倍数为分子，各分母的最大公约数为分母的分数。 四 图象法 作出函数的图象，从图象上直观地得出所求的最小正周期。 例5 求下函数的最小正周期。 （1）y=|sin(3x＋)| （2）y=|+ sin2x| 解：（1）先作出函数y=|sin(3x＋)|的图象（见图1） 观察图象，易得所求的周期为T=。 （2）先作出y=|+ sin2x|的图象（见图2） 观察图象，易得所求的周期为T=π。 五、恒等变换法 通过对所给函数式进行恒等变换，使其转化为简单的情形，再运用定义法、公式法或图象法等求出其最小正周期。 例6 求下列函数的最小正周期： (1) f(x)＝sin(x＋)cos(x－) (2) f(x)＝sin6x＋cos6x (3) f(x)＝ 解 (1) f(x)＝sin(x＋)cos(x－)＝|sin2x+sin|=sin2x+ ∴最小正周期为T= π (2) f(x)＝sin6x+cos6x =(sin2x+cos2x)(sin4x-sin2xcos2x+cos4x) =(sin4x-sin2xcos2x+cos4x) =(sin2x+cos2x)2-3sin2xcos2x =1-sin2x =+cos4x ∴最小正周期为T= == 它与－cos2x的周期相同，故得 f(x)的最小正周期为T=π