自适应方法研究网格是偏微分方程数值解法的基础，网格体系的好坏.PDF

自适应方法研究 网格是偏微分方程数值解法的基础，网格体系的好坏直接影响计算结果的精 度，甚至影响计算的成败。网格方法的研究经历了从结构化到非结构化，从单一 网格到混合网格的过程。经过几十年的发展，这些网格方法已经很好地用于各种 问题的计算，并不断出现新的针对不同情况的网格生成技术，而且形成了一些好 的网格生成软件。近三十年来，自适应网格方法（主要有移动网格方法和局部细 化或粗化的网格方法）一直引起了国际学术界和各类应用部门的高度重视，并且 成为网格方法研究的热点问题。 非线性偏微分方程的奇性解往往反映了自然现象的最核心，最复杂的部分。 在数值求解中，奇性解的数值模拟也是最困难的。困难之一就是奇性解的数值解 往往强烈地依赖于离散化的方式，或更具体地说强烈地依赖于网格。事实上，对 于很多问题，网格的分布已经成为求解问题的一个重要的组成部分，其结果也构 成了数值解不可分割的一部分。已有的移动网格方法是根据已知的数值解的特性 来调整网格，以期在新网格上的数值对原问题的解有更好的逼近。该方法成功的 前提之一是初始网格上的数值解已能基本捕捉到原问题解的关键信息。而对很多 复杂问题，得到这样一个初始网格本身就是一件很困难的研究课题。网格变换法 的基本思想是将网格的分布直接与解的某种物理性质联系起来。通过结合具体问 题对网格变换法的深入研究将对发展一套快速有效的自适应网格调整方法起到 重要的推动作用。 随着计算机的迅速发展和普及，数值方法求解非规则区域、剧烈变化的材料 系数已成为可能。采用自适应网格局部加密的有限元是解决这类问题的有效途 径。利用有限元离散方程所形成的代数系统，由于其条件数很坏，当离散规模很 大时，通常的迭代法将失效。 研究该代数系统的高效算法，如多重网格法，区 域分解法。基于自适应网格和非匹配网格的多重网格法有待进一步考察。 经过五年来的努力，我们已经从多个侧面对自适应方法进行了系统性的研 究，这包括瀑布型多重网格算法，移动网格以及网格变换等方向。由于我们着手 较早，所取得的成绩具有国际先进水平。 A、 瀑布型多重网格法 瀑布型多重网格法也称为单步多重网格法, 它不需要校正步, 故计算机实 现更方便, 它实际上是套迭代多重网格法的一种变形, 在套迭代多重网格法中 每层上的初值是由多重网格法在粗网格上经过若干次迭代而得, 而瀑布型多重 网格法更简单, 每层上的初值是直接由标准的迭代法, 例Richardson, Jacobi, Gauss-Seidel, CG 方法, 在粗网格上经过若干次迭代而得, 因为缺少校正步, 为了保证算法的收敛性和工作量的最优, 每层上迭代的次数将相应要增多, 特 别是粗网格上的迭代次数. 我们对瀑布型多重网格法给出了完善的数学理论基础并应用到了各种实际 问题。对一新型的区域分解法即Mortar元方法，给出了有效的数值算法及最优 的处理方法。同时对板问题和弹性问题构造了很多具有工程和实际应用前途的 低次四边形locking自由的有限元。有些内容已超额完成了计划任务。 B、移动网格方法 在广泛的实际应用问题中，往往出现解的性质相对恶劣，方程在求解区域 的局部变化非常剧烈，或者是求解区域整体相对较大，却又要对其中小部分上 解的细节信息要求很高的情况。对于这样的问题，在均匀的网格上求解是不现 实的，尤其是高维的问题，计算量远远超出硬件的能力。自适应方法是解决这 种问题的一个途径。移动网格方法，作为自适应方法的一种，主要是为了解决 发展方程的计算问题而设计的方法。 我们研究得出一种基于调和映射的移动网格方法。在移动网格方法中，需 要引进一个逻辑区域作为参考，网格的移动往往通过一个区域变换来实现，网 格可能发生缠绕的问题是移动网格方法中一个一直没有解决的问题，我们利用 调和映射来构造区域间的变换，使得变换的存在唯一性有了理论的保证，这就 为避免网格缠绕打下了基础。我们进而引进了一个迭代的过程来实现网格的移 动，避免了数值原因导致的网格缠绕，彻底地解决了网格缠绕的问题。我们将 网格移动和方程求解完全分开，从而使得移动网格方法在各类不同的问题中的 应用，被完全归结为构造控制函数的问题，并且有利于程序开发。我们还设计 了一个在不同的网格之间进行插值的格式，用来将解函数在不同的网格间过渡， 数值结果表明这个格式和多项式插值方法相比，具有比较好的性质。我们用一 系列比较难于处理的典型发展问题进行了计算，都取