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第七章 立体几何 【考纲要求】 　1空间几何体 　　① 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. 　　② 能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二法画出它们的直观图. 　　③ 用平行投影与中心投影两种方法画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式. 　　④画某些建筑的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）. 　　⑤ 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）. 　2点、线、面之间的位置关系 　　① 理解空间线、面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理. 　　◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 　　◆公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面. 　　◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 　　◆公理4：平行于同一条直线的两条直线平行. 　　◆定理：空间中个角的两边平行，那么这两个角相等或互补. 　　② 以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定. 　　以下判定定理. 　　◆平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，该直线与此平面平行. 　　◆一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，这两个平面平行. 　　◆一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，该直线与此平面垂直. 　　◆一个平面过另一个平面的垂线，两个平面垂直. 　　以下性质定理，并证明. 　　◆一条直线与一个平面平行，过该直线的任一个平面与此平面交平行. 　　◆的交线相互平行. 　　◆垂直于同一个平面的两条直线平行. 　　◆两个平面垂直，一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. ③ 能运用的结论证明一些空间位置关系的简单命题.．空间向量与立体几何 　　（1）空间向量及其运算 　　① 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 　　② 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. 　　③ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 　　（2）空间向量的应用 　　① 理解直线的方向向量与平面的法向量. 　　② 能用向量语言表述的垂直、平行关系. 　　③ 能用向量方法证明有关位置关系的一些定理（包括三垂线定理）. 　　④ 向量方法解决的夹角的计算问题，向量方法在研究几何问题中的作用. 例1. （1）已知正的边长为，那么的斜二测平面直观图的面积为_____ （答：） （2）. 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如下图的一个正方形，则原来图形的形状是（　　）（答：A） 例2．已知一个三棱柱的底面是正三角形，且侧棱垂直于底面，其三视图如图，则此正三棱柱的表面积和体积分别是________、________。 例3．（2006年全国卷I）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(侧棱与底面垂直； 底面是正方形)高为4，体积为16，则这个球的表面积是 ( ) A． B． C． D． 解．由，得，得正四棱柱底面边长为2。该正四棱柱的主对角线即为球的直径，所以：球的体积。选C。 例4．（2006年江西卷）如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A－BEFD与三棱锥A－EFC的表面积分别是S1，S2，则必有（ ） S1S2 S1S2 S1=S2 S1，S2的大小关系不能确定 解：连OA、OB、OC、OD 则VA－BEFD＝VO－ABD＋VO－ABE＋VO－BEFD VA－EFC＝VO－ADC＋VO－AEC＋VO－EFC又VA－BEFD＝VA－EFC而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故SABD＋SABE＋SBEFD＝SADC＋SAEC＋SEFC又面AEF公共，故选C [例题策略] 解答斜二测平面直观图的有关问题需要掌握画图的三条法则. 三视图的有关问题需要掌握侧视图和正视图高度一样, 俯视图和正视图长度一样, 侧视图和俯视图宽度一样. [专题训练] 在棱长均为的正四面体中，若以三角形为视角正面的三视图中，其左视图的面积是（ ）． C A． B． C． D． ABCD中，AB=2DC=2,∠DAB=60°,E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则P－DCE三棱锥的外接球