数值分析_第三次上机..doc

4.求f(x)=sin x在0,π/2]上的最佳一次逼近多项式。 解设P1x)=a0+a1x是(x) 的最佳一次逼近多项式，则P1(x)在[0,π/2]上有三个交错点， 满足0=x1x2x3=π/2。 由于f(x)- P1(x)]’’=(cos x-a1)’= -sin x在0,π/2]上小于0，定号，故(cos x-a1)’在0,π/2]上单调递减，且仅有一个驻点。 故f(x)- P1x)在[0,π/2]上只有一个偏差点x2，满足f(x)- P1(x)]’|x=x2 =cos x2-a1=0 (1)。 另外两个偏差点1=0 ，x3=π/2 . 0-a0 =sin π/2-a0-π/2a1 (2)， sin x2 –a0-a1x2= -( sin 0-a0) (3) 由（1）（2）（3）式得：a1=2/π x2=arccos 2/π=0.88 a0=-1.18 所以P1= -1.18+2/π x 。 6.求f(x)=2x4+3x3-x2+1在-1,1]上的三次最佳一致逼近多项式。 解：设(x)的三次最佳一致逼近多项式为P3(x)， 由切比雪夫多项式的极性可得 1/2[f(x)- P3(x)]=1/8T4(x)=1/8(8x4-8x2+1) 所以P3(x)=fx)-1/4(8x4-8x2+1)= 2x4+3x3-x2+1-2x4+2x2-1/4 =3x3+x2+3/4 9.求函数(x)在指定区间上关于x)=span{1,x}的最佳平方逼近多项式。 3)f(x)=cosπx, x∈[0,1]；4)f(x)=ln x, x∈[1,2]. 解：3)在0,1]上，经计算得 d0= =0 ，d1== -2/π2 0+1/2a1=0 ，/2a0+1/3a1= -2/π2 由上面两式解得0=12/π2 ，a1= -24/π2 所以f(x)=cosπx在0,1]上的最佳平方逼近多项式为 S1*=12/π2 -24/π2 x 。 4) 在[1,2]上，经计算得d0== 2ln2-1 ，d1= = 2ln2-3/4 得到法方程组为0+1/2a1=2ln2-1 ，/2a0+1/3a1= 2ln2-3/4 由上面两式得 a0= -4ln2+1/2，a1= 12ln2-3 所以f(x)=ln x在1，2 -4ln2+1/2 +(12ln2-3) x 。 11.f(x)=sin(π/2 x)在-1,1]上按 解：在-1,1]上，3x2-1)，1/2(5x3-3x)} 则d0==0，d1==8/π2 d2= =0 ，d3==60/π2 -480/π4 。 1 1/2 1/3 1/4 a0 d0 1/2 1/3 1/4 1/5 a1 d1 1/3 1/4 1/5 1/6 a2 = d2 1/4 1/5 1/6 1/7 a3 d3 得a0= -0.2585 ，a1=2.9074，a2= -7.0253，a3=4.5862 所以f(x)在[-1,1]上的三次最佳平方逼近多项式为 S(x)=a0P0(x)+a1P1(x)+a2P2(x)+a3P3(x) = -0.2585+2.9074x-7.0253/2 (3x2-1)+4.5862/2 (5x3-3x) =11.4655x3-10.538x2 -3.7919x+3.254 13.求x)=arctan x在-1,1]上的三次 解x)=arctan x在-1,1]上的三次 其中?∈(-1,1) 显然L3(x)=f(x) - 当R(x)最小时，L3(x)即为所求。 设M4=max|f4(x)|=12 则有|R(x)|=| | 由插值节点为xk=cos(2k+1)π/(2n+2) ，k=0，1，2，···，n 得x0=cos π/8 ，x1=cos 3π/8，x2=cos 5π/8，x3=cos 7π/8. 此时，有余项R(x)=|f(x)-L3(x)| =| |==1/16 所以L3(x)=arctan x+1/16 18.已知数据如下表，试求一次、二次代数多项式对其拟合。 x -1 -0.5 0 0.5 1 y -0.22 0.88 2.00 3.13 4.28 解：在matlab命令窗口执行 -1 -0.5 0 0.5 1]; y=[-0.22 0.88 2.00 3.13 4.28]; polyfit(x,y,1) polyfit(x,y,2) 得到 ans=2.2500 2.0140 ans=0.0314 2.2500 1.9983 即其所求一次多项式对