固体物理 第六讲.ppt

证明： 考察： (-df/dE)是（E－EF）的偶函数； (-df/dE)的值集中在? E－EF ?? kBT的一小范围内，当 ? E－EF ? 几个 kBT时，函数的值迅速趋于0，具有 类似于?函数的性质。 因此，积分的贡献主要来自E ~ EF附近的区域，由于EF kBT，所以，我们可以将均分的下限由0改为-∞，而并不会影响积分值。 由于(-df/dE)的值集中在E=EF附近，因此，可将Q(E)在E=EF附近展开成Taylor级数。 利用Taylor展开式： 三、Sommerfeld展开式的应用 1. EF的确定 对于金属，由于TF T，所以EF ? EF0 。我们可以定性地分析为什么EF会略低于EF0 。当T 0时，由于TF T，所以电子的分布函数只在费米能附近几个kBT的范围内有变化，而离费米能较远处电子的分布于T=0时相同。在有限温度下， EF0以下能态的占有几率减小，而EF0以上能态的占有几率增大，可以认为， EF0上下电 子占有几率的增大和减小是关于EF0对称的。但是，由于电子的能态密度N(E)随E的增加而增大，即EF0以上的N(E)大于以下的N(E) ，因此，若EF0上、下电子能态占有率的增加、减少相同，则EF0以上要多填一些电子。因此，若保持EF = EF0 ，那么系统的电子数就要增加，但实际上系统的电子数是一定的，因此，EF必须略低于EF0 。 2. 电子热容量 自由电子系统的总能量为 这里 为T=0时自由电子系统的总能量 第二项为T 0时，由于热激发自由电子系统从外界所获得的能量。 电子热容量： 若每个金属原子贡献Z个自由电子，那么，一摩尔金属的电子热容量为： 其中 1.41 0.91 0.75 0.505 1.67 1.09 ?理论（mJ/mol.K2） 1.78 1.35 0.64 0.695 2.08 1.38 ?实验（mJ/mol.K2） Sn Al Zn Ca K Na 一些金属的?值 当T ?D时，常温下，一摩尔金属的晶格热容CL?3R 对于金属，由于TF T，所以Ce CL。因此，在常温下可以不必考虑电子热容量的贡献。 当T ?D时， 当Ce=CL时，可求出此时的温度 实验值 对于简单金属， ?D ~ 102 K， TF ~ 104 K，估算出TC ~ 1 K的数量级。所以，在很低温度下，电子热容量与晶格热 容量同数量级，这时，电子热容量就不可忽略。 3. Pauli顺磁 当B = 0时，电子占据自旋磁矩向上或自旋磁矩向下能态的几率仅与该能态能量有关，若能量相等，电子的占据几率相等。所以，未加外磁场时，系统不显示磁性。 －?BB ?BB －?B ?B E B 当B ? 0时，由于平行与反平行于外磁场的自旋磁矩的取向能分别为－?BB和＋ ?BB，造成能量原点的移动。自旋磁矩平行于磁场的原点在－ ?BB；自旋磁矩反平行于磁场的原点在＋ ?BB。能量为E的能态密度： E ?B?： ?B ?： 平衡时，对于同一能量E，电子占据自旋磁矩平行于磁场和反平行于磁场的态的几率相等。 对于一般金属， TF T，Pauli顺磁磁化率随温度的变化很小，通常可以认为? ? ?0，即磁化率近似与温度无关。 实验结果表明，对于简单金属，如碱金属的顺磁性几乎与温度无关，与理论计算的结果一致，其实验值在数量级上也与理论值一致。 0.89 0.98 0.53 0.65 0.8 理论 (10－6CGS) 1.70 0.87 0.58 0.63 2.0 实验 (10－6CGS) Ca Mg K Na Li ? §6.3 功函数和接触电势 一、热电子发射和功函数 实验表明，热电子发射的电流密度为 其中A为常数，W为功函数（或脱出功），即电子逸出金属所需克服的势垒。 V0 EF 0 x V W 金属 真空 Richardson－Dushman公式 * 第六章 金属自由电子论 §6.1 Sommerfeld的自由电子论 一、自由电子模型 电子在一有限深度的方势阱中运动，电子间的相互 作用可忽略不计； 电子按能量的分布遵从Fermi－Dirac统计； 电子的填充满足Pauli不相容原理； 电子在运动中存在一定的散射机制。 二、运动方程及其解 1. 运动方程 其中，U0为电子在势阱底部所具有的势能，为简单起见，可选取U0 ＝0。 令 有 方程的解为： 其中，A为归一化因子，可由归一化条件确定。 V为金属的体积。 k为电子波矢 电子的能量： 二、周期性边界条件 设金属为一平行六面体，其棱边分别沿三个基矢a1