圆锥曲线练习试题及详细答案.docx

圆锥曲线归纳总结 ——for Yuri 第部分：知识储备 1. 直线方程的形式 （1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率 ②点到直线的距离 ③夹角公式： （3）弦长公式 直线上两点间的距离： 或 （4）两条直线的位置关系 ①=-1 ② 2、圆锥曲线方程及性质 (1) 椭圆的方程的形式有几种？（三种形式） 标准方程： 距离式方程： 参数方程： (2) 双曲线的方程的形式有两种 标准方程： 距离式方程： (3) 三种圆锥曲线的通径 椭圆：；双曲线：；抛物线： (4) 圆锥曲线的定义 黄楚雅，分别回忆第一定义和第二定义！ (5) 焦点三角形面积公式： 在椭圆上时， 在双曲线上时， （其中） (6) 记住焦半径公式： = 1 \* GB3 ①椭圆焦点在时为，焦点在轴上时为 = 2 \* GB3 ②双曲线焦点在轴上时为 = 3 \* GB3 ③抛物线焦点在轴上时为，焦点在轴上时 3333333333333333333333333333333333333333333333333华丽的分割线3333333333333333333333333333333333333333333333333333333 第部分：三道核心例题 例1．椭圆长轴端点为,为椭圆中心，为椭圆的右焦点，且，。 （1）求椭圆的标准方程； （2）记椭圆的上顶点为，直线交椭圆于两点，问：是否存在直线，使点恰为的垂心？若存在，求出直线的方程;若不存在，请说明理由。 分析：第一问比较容易，第二问关键是垂心（小黄同学，你还记得三角形的“四心”吗？）的处理。由待定系数法建立方程求解。 解（1）建立坐标系，设椭圆方程为,由得 又∵即 ，∴ 易得，故椭圆方程为 （2）假设存在直线交椭圆于两点，且恰为的垂心， 设，∵，故， 于是设直线为 ，由得， ∵ 又 得 即 由韦达定理得 解得或（舍） 经检验符合条件。 例2．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点，平行于的直线在轴上的截距为，交椭圆于、两个不同点。 （1）求椭圆的方程； （2）求的取值范围； （3）求证直线、与轴始终围成一个等腰三角形。 分析：小黄同学，直线、与轴始终围成一个等腰三角形这个怎么理解，怎么处理？关键是把它转化成。 解：（1）设椭圆方程为 则 ∴椭圆方程为 （2）∵直线平行于，且在轴上的截距为 又 由 ∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点， （3）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可 设 则 由 而 故直线、与轴始终围成一个等腰三角形。 例3．已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆上，且点A是椭圆短轴的一个端点（点A在y轴正半轴上）. （1）若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程; （2）若角A为，AD垂直BC于D，试求点D的轨迹方程. 分析：第一问抓住“重心”（小黄同学，你还记得三角形的“四心”吗？），利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC的斜率，从而写出直线BC的方程。第二问抓住角A为可得出AB⊥AC，从而得，然后利用联立消元法及交轨法求出点D的轨迹方程。 解：（1）设B(,)，C(,)，BC中点为()，焦点为F(2,0)，则有 两式作差有 ，整理得 （其中为点弦BC的斜率） (1)又F(2,0)为三角形重心，所以由，得 由 得，代入（1）得 ，从而得到 直线BC的方程为 （2）由AB⊥AC得 （2） 设直线BC方程为，得 又由韦达定理有 ， 与直线方程结合，易得 代入（2）式得 ，解得或 直线过定点（0，，设D（x,y），则，即所以所求点D的轨迹方程是。 77777777777777777777777777777777777777777777777777777优雅的分割线777777777777777777777777777777777777777777777777777 第部分：七种常见题型 1、中点弦问题 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为、，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的情况），消去参数。 例如：设、，为椭圆的弦中点则有 ，；两式相减得 = 归纳：（1）椭圆与直线相交于A、B，设弦AB中点为，则有。 （2）双曲线与直线相交于A、B，设弦AB中点为，则有。 （3）抛物线与直线相交于A、B，设弦AB中点为，则有，即。 典型例题 给定双曲线，过的直线与双