内积的坐标表示法.doc

平面向量的內積 平面向量的內積 ◎內積的坐標表示法： 若是坐標平面上任意兩個向量,　則與的內積 為 【例1】 已知,　求(1) (2)與的夾角. 解 (1).　 (2)設與的夾角為.　因為,　 所以 故.　 【例2】 設為實數,.若,則的值為何？ 解 因為,　且,　 所以 ,　 即. 得 , 整理得 , 解得 兩直線的交角 兩直線的交角 ◎兩向量的夾角： 設 EQ \o(,)＝（﹐）﹐ EQ \o(,)＝（﹐）為兩個非零向量﹐夾角， 則 cosθ＝ EQ \F( EQ \o(,)? EQ \o(,),∣ EQ \o(,)∣∣ EQ \o(,)∣) ＝ EQ \F(＋,\r(\o(　,＋))\r(\o(　,＋　))) ◎若直線的方程式為,　則 (1)向量與直線平行.　 (2)向量與直線垂直.　 ◎兩直線的交角： 兩直線L1：x＋y＋＝0﹐L2：x＋y＋＝0 的交角為， （另一交角為），則 cosθ＝EQ \F(＋,\r(\o(　,＋))\r(\o(　,＋　))). 【例3】 求兩直線與的交角.　 解 與的法向量分別為與 若與的夾角為,　則 推得.　 故與有一交角為,　另一交角為 點到直線的距離 點到直線的距離 ◎點到直線的距離公式： 點到直線的距離 ◎兩平行直線間的距離公式： 兩平行直線與的距離 【例4】 求點到直線的距離.　 解利用點到直線的距離公式,　得所求的距離為 【例5】 求兩平行直線與的距離.　 解 將的方程式改寫為,　利用兩平行直線間的距離公式,　得所 求的距離為 × 【例6】 已知兩直線與,　求兩直線的交角平分線方 程式.　 解 設點為角平分線上任一點.　因為角平分線上任一點到這個角的兩邊等距離,　所以 化簡得 即 或 × 故角平分線方程式為或.　 柯西不等式 柯西不等式 ◎柯西不等式： 對於任意實數,不等式 恆成立,　 且等號成立於時.　 【例7】 設實數滿足,求的最小值,並求當有最小值 時,與的值.　 解 利用柯西不等式,　得 將代入,　得 而且當時等號成立.　解 得.　 故當時,　有最小值.　 【例8】 設實數滿足,求的最大值與最小值,並分別求當 有最大值與最小值時,與的值.　 解 利用柯西不等式,　得 將代入,　得 而且當時等號成立.　令,　得 代入中,　得 ． 解得. (1)當時,　,　,　． (2)當時,　,　,　． 故當時,　有最大值25； × 　當時,　 有最小值.　 正射影 正射影 ◎正射影長： 在上的正射影長 ◎正射影： 在上的正射影 【例9】 已知,　求在上的正射影及正射影的長.　 解 設在上的正射影為.　 (1)利用正射影公式,　得 × (2)正射影的長為