巧用数形结合法解数学题..doc

中央广播电视大学人才培养模式改革和开放教育试点 数学与应用数学专业毕业论文 巧用数形结合法解数学题 姓 名： 刘 嘉 杭 学 校： 中央广播电视大学 学 号： 081170407 指导教师： 赵 学 海 完稿日期： 2010年3月18日  目 录 提纲 1 题目 2 论文摘要 2 关键词 2 正文 2-9 1、以数解形 2 2、以“形”助“数” 4 参考文献 9  提 纲 一、题目：巧用数形结合法解数学题 二、论点：数形结合是研究数学问题的过程中，实现问题的模型转换的一种基本思想和方法。 三、思路 1、以数解形 （1）用代数法解几何问题 （2）用解析法解几何问题 2、以形助数 （1）用几何法解代数问题 （2）用解析法解代数问题 （3）借助函数图象解数学问题 巧用数形结合法解数学题 刘 嘉 杭 【论文摘要】 数形结合是一种重要的数学思想方法，在解题中以形表达数量关系，借数解析形，数形结合，可以达到直观又入微；提高数形结合的灵活性，可有助于思维能力的培养，有利一提高解题能力。 【关键词】 数形结合 以数解形 以形助数 所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，大家都知道数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学，数和形是客观事物不可分离的两个数学表象，它们既是对立的，又是统一的，每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；因此数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，在解决代数问题时，想到它的图形，从而启发思维，找到解题之路；或者在研究图形时，利用代数的性质，解决几何的问题。实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观。数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”。充分体现了数形结合的必要性。正由于数形的密切关系，我们常把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述结合起来，从而使代数问题几何化，几何问题代数化，并进而把抽象思维和形象思维结合起来，使许多复杂问题获得简捷解法。 通常数形结合体现为“以形助数”、“以数解形”、“借助函数图像”，通过“以形助数”、“以数解形”、“借助函数图像”，可使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而达到优化解题途径的目的。 1、以数解形 几何问题通过“形向数”的转化更简便，如采用代数方法、解析法、复数方法、向量方法去解决几何问题，解题思路比较明确，规律性强，不象几何证法需要特殊技巧，因此也就容易找到解题途径，下面举例说明。 1.1 用代数方法解几何问题 研究某些度量关系的几何问题时，可将有关线段、角度、面积用未知数表示，根据已知条件建立相应的关系式，然后用代数中的恒等变换或解方程得出。 【例1】如图1,已经⊙O的三条弦PP1、QQ1、RR1两两相交，交点分别为A、B、C，且AP＝BQ＝CR，AR1＝BP1＝CQ1。 求证 △ABC是正三角形 思路分析：此题用代数法解极为简单。设： BC＝x，CA＝y，AB＝z，AP＝BQ＝CR＝m，AR1＝BP1＝CQ1＝n， 相交弦定理可列出议程组 化简后得 三式相加得m（x＋＋＋＋F。求证∠ADE＝∠ADF. 思路分析：此题如用几何法无需较高技巧，我们试用解析法来证明。建立直角坐标系，如图2,则只须证明DE，DF的斜率互为反数就可以了。 设A、B、C、P四点坐标分别为（0,a），（b,0），（c,0），（0,p），由截距式可求出AB、CP，AC，BP的直线方程为： AB：……（1） CP：……（2） AC：……（3） BP：……（4） 联立（3）、（4），求出E点坐标为（，）联立（1）、（2），求出F点的坐标为（，）所以直线DE的斜率KDE＝直线DF的斜率KDF＝由此得KDE＝KDF所以∠ADE＝∠ADF。 由上述例子可见，解析法证几何题，思路明确，有规可循，而且可以减少或避免添加辅助线，可以减少“寻求隐含条件”的困难，使用时要注意的是坐标系的选取要适当，这样可以简化计算。 2、以“形”助“数” 以“形”助“数”即以图形或图象之关系反映相应的代数关系，并解决有关代数问题，根据解题的需要，常把数量关系的问题转化为图形的性质问题来讨论，即把抽象为直观，通过对图形的研究，常能发现问题的隐含条件，诱发解题线索，使求解过程变得简捷直观。 2.1 用几何法解代数问题 【例3】已知正数a、b、c、A、B、C满足a＋＋＋＋＋＜思路分析：不等式左边是三个乘积的和，联想到三角形的面积