数学知识回顾解析.ppt

数学基础 坐标系 矢量分析和场论基础 学习目标 本节课后，同学们能够掌握三种正交坐标系中线、面、体元的表示； 本学期结束后，同学们能够学会矢量运算、微分、积分运算等方法在物理学中的应用，并能够熟练准确地运用。 1. 坐 标 系 三种正交坐标系 直角坐标系 圆柱坐标系 球面坐标系 2. 矢量分析和场论基础 电磁学中的各种物理量可分为两类 标量 矢量 标量（Scalar） ：选定单位后仅用一个数值就可以表示 其大小的物理量，称为标量，如电位、能量等 矢量（Vector） ：不仅有大小，还有方向的物理量，称 为矢量，如电磁力、电场强度、磁感应强度等 矢量在印刷体中常用黑体字，如A 矢量表示法 在正交坐标系如直角坐标系中，矢量可以用坐标来表示。则从O指向终点P的矢量A可以表示为 矢量的方向余弦 A与x、y、z三个坐标轴正向的夹角α、β、γ 矢量加、减法 矢量的标积 矢量的矢积 矢量叉乘服从分配律和反交换律 矢量的三重标积 矢量的三重矢积 标量场 矢量场 矢量场和矢径 标量函数的偏导数和全微分 矢量函数的偏导数和全微分 矢量函数的偏导数和全微分 矢量微分算子 标量场的梯度 梯度 矢量场的散度 一个矢量函数的曲面积分称为矢量场穿过该曲面的通量 矢量场的散度定义 高斯散度公式 矢量场的旋度 一个矢量函数沿有向闭合曲线的曲线积分 矢量场的旋度物理含义 矢量场的旋度定义 矢量场的几个基本定理 * * 直角坐标系 圆柱坐标系 球面坐标系 掌握三种正交坐标系中线、面、体元的表示 ? 球面坐标 ? 圆柱坐标 直角坐标 和直角坐标系的关系 长度元 向量单位 坐标系 矢量分析 长度为一个单位的矢量称为单位矢量。如矢量A的单位矢量指的是方向与A一致，大小为一个单位的矢量，可以用或A0表示。 、 、 表示x、y、z三个坐标轴方向上的单位矢量 矢量A的模 矢量分析 称为A的方向余弦 直角坐标系中 可见，方向余弦就是A的单位矢量 矢量分析 B A C 0 B A C 0 矢量分析 矢量的标乘又称点乘 在直角坐标系中，其解析式为 矢量点乘服从交换律和分配律 矢量分析 矢量的矢积又称叉乘 A B A×B 两矢量的叉乘，其结果仍是一个矢量 在直角坐标系中，其解析式为 叉乘的几何含义 矢量分析 矢量分析 矢量的三重标积 是一个标量，其解析表达式为 A B C B×C V=A.(B×C) 三重标积的结果是以 为棱的平行六面体的体积V 三重标积的几何含义 矢量分析 矢量的三重矢积 是一个矢量 B×C B C A A×(B×C) 1 2 3 矢量分析 在直角坐标系中，若空间区域D的任意一点M（x,y,z）， ，则它在空间区域D就 对应一个数量函数 构成了一个标量场 标量场和函数密不可分 场论基础 在直角坐标系中，若空间区域D的任意一点M（x,y,z） ，则它在空间区域D就 ，磁场 等。若M的位置用矢径r确定，则矢量F可以看成矢径r的 对应一个矢量函数 构成了一个矢量场，如电场 矢量函数F（r）。 场论基础 标量场的概念与标量函数实质上是一样的，同样，矢量场的概念与矢量函数也是一样的。场的概念偏重于物理概念，函数则从数学的角度描述场。 场论基础 在直角坐标系中，标量函数 的偏导数 标量函数的全微分 场论基础 偏导数 全微分 场论基础 矢量函数的全微分与标量函数的全微分形式上类似 场论基础 哈密尔顿微分算子▽在直角坐标系中的表达式为 微分算子▽的各个分量同样可以像普通矢量一样进行点乘、叉乘等运算。具有矢量的性质。它亦具有微分的性质。 在电磁场的分析中常常会遇到梯度、散度、旋度和二阶微分的运算，为了简化表达和运算，引入了哈密尔顿微分算子▽。它既可以进行微分运算，亦可以作为矢量参与矢量的点乘与叉乘运算。其优点在于可以把对矢量函数的微分运算转化为矢量的代数运算，且在运算过程中不考虑坐标系的影响，从而简化运算过程，使推导简明扼要