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指数函数 概念：一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。 注意：⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。 ⒉指数函数的定义仅是形式定义。 指数函数的图像与性质： 规律：1. 当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y HYPERLINK /view/811624.htm \t _blank 轴对称，但这两个函数都不具有 HYPERLINK /view/580425.htm \t _blank 奇偶性。 2.当a＞1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴； 当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。 在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。 3.四字口诀：“大增小减”。即：当a＞1时，图像在R上是增函数；当0＜a＜1时，图像在R上是减函数。 4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。 比较幂式大小的方法： 当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较； 当底数中含有字母时要注意分类讨论； 当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较； 对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较 底数的平移： 　　 在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。 　　 在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。 对数函数 1.对数函数的概念 由于指数函数y=ax在定义域(-∞，+∞)上是单调函数，所以它存在反函数， 我们把指数函数y=ax(a＞0，a≠1)的反函数称为对数函数，并记为y=logax(a＞0，a≠1). 因为指数函数y=ax的定义域为(-∞，+∞)，值域为(0，+∞)，所以对数函数y=logax的定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞). 2.对数函数的图像与性质 对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x. 据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质. 为了研究对数函数y=logax(a＞0，a≠1)的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数 y=log2x，y=log10x，y=log10x,y=logx,y=logx的草图 由草图，再结合指数函数的图像和性质，可以归纳、分析出对数函数y=logax(a＞0，a≠1)的图像的特征和性质.见下表. 图 象 a＞1 a＜1 性 质 (1)x＞0 (2)当x=1时，y=0 (3)当x＞1时，y＞0 0＜x＜1时，y＜0 (3)当x＞1时，y＜0 0＜x＜1时，y＞0 (4)在(0，+∞)上是增函数 (4)在(0，+∞)上是减函数 补充 性质 设y1=logax y2=logbx其中a＞1，b＞1(或0＜a＜1 0＜b＜1) 当x＞1时“底大图低”即若a＞b则y1＞y2 当0＜x＜1时“底大图高”即若a＞b，则y1＞y2 比较对数大小的常用方法有： (1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断. (2)若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论. (3)若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较. (4)若底数、真数都不相同，则常借助1、0、-1等中间量进行比较. 3.指数函数与对数函数对比 名称 指数函数 对数函数 一般形式 y=ax(a＞0，a≠1) y=logax(a＞0，a≠1) 定义域 (-∞，+∞) (0，+∞) 值域 (0，+∞) (-∞，+∞) 函 数 值 变 化 情 况 当a＞1时， 当0＜a＜1时， 当a＞1时 当0＜a＜1时， 单调性 当a＞1时，ax是增函数； 当0＜a＜1时，ax是减函数. 当a＞1时，logax是增函数； 当0＜a＜1时，logax是减函数. 图像 y=ax的图像与y=logax的图像关于直线y=x对称. 幂函数 幂函数的图像与性质 幂函数随着的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握，当的图像和性质，列表如下． 从中可以归纳出以下结论： 它们都过点，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限． 时，幂函数图像过原点且在上是增函数． 时，幂函数图像不过原点且在上是减函数． 任何两个幂函数最多有三个公共点． 奇函数 偶函数 非奇非偶函数 O O x y O O x y O O x y O O x y O O x y O O x y O O x y O O x y O O x y 定义域 R R R 奇偶性 奇 奇 奇 非奇非偶 奇 在第Ⅰ象限的增减性 在第Ⅰ象限单调递增 在第Ⅰ象限单调递增 在第Ⅰ象限单调递增 在第Ⅰ象限单调递增 在第Ⅰ象限