函数与常用初等函数.pptx
函数与常用初等函数
汇报人：XX
2024-02-02
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目录
函数基本概念与性质
初等代数函数
三角函数及其应用
初等超越函数
极限与连续性问题探讨
导数与微分学基础
01
函数基本概念与性质
函数是一种特殊的关系，它使得每一个输入的数（自变量）都对应一个唯一输出的数（因变量）。
函数定义
在坐标系中描点连线，形成直观的函数图像。
图像
函数可以通过解析式、表格、图像等多种方式表示。
表示方法
用数学公式表示函数关系，如f(x)=x^2。
解析式
列出自变量和对应的函数值，形成一一对应的关系。
表格
02
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05
函数值的取值范围，即因变量的取值集合。
值域
自变量的取值范围，即函数有意义的自变量集合。
定义域
单调减少
在区间内任取两点x1,x2(x1x2)，若f(x1)≥f(x2)，则称函数在该区间内单调减少。
单调增加
在区间内任取两点x1,x2(x1x2)，若f(x1)≤f(x2)，则称函数在该区间内单调增加。
单调性
函数在某一区间内单调增加或减少的性质。
周期性
函数在某一周期内重复出现的性质。
周期函数
存在一非零常数T，对于定义域内的任意x，都有f(x+T)=f(x)，则称f(x)为周期函数，T为其周期。
复合函数的性质
复合函数的单调性、周期性等性质由内外层函数共同决定。
复合函数的求解
从外层函数开始，逐步向内层函数代入求解。
复合函数
由两个或两个以上的函数通过复合而得到的新函数。
反函数
对于一一对应的函数，可以交换x和y的位置得到其反函数。
反函数的性质
原函数与其反函数关于直线y=x对称。
02
初等代数函数
由常数、变量以及代数运算（加、减、乘、乘方）得到的代数表达式称为多项式函数。
多项式函数的定义
多项式函数在其定义域内连续且可导，其图像是一条光滑的曲线。
多项式函数的性质
多项式函数可以进行加、减、乘、除四则运算，但除法运算需注意除数不能为0。
多项式函数的运算
由两个多项式函数通过除法运算得到的函数称为有理函数。
有理函数的定义
有理函数的性质
有理函数的运算
有理函数在其定义域内可能不连续，其图像可能存在间断点。
有理函数同样可以进行加、减、乘、除四则运算，但需注意运算后的函数是否仍为有理函数。
03
02
01
不能表示为两个整数的比的函数称为无理函数。
无理函数的定义
无理函数在其定义域内可能不连续，其图像可能呈现复杂的形态。
无理函数的性质
常见的无理函数包括三角函数、反三角函数等。
无理函数的例子
对数函数的性质
对数函数在其定义域内连续且单调，其图像是一条光滑的曲线。当a1时，函数单调递增；当0a1时，函数单调递减。对数函数与指数函数互为反函数。
指数函数的定义
形如y=a^x（a0，a≠1）的函数称为指数函数。
指数函数的性质
指数函数在其定义域内连续且单调，其图像是一条光滑的曲线。当a1时，函数单调递增；当0a1时，函数单调递减。
对数函数的定义
如果a^x=N（a0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
03
三角函数及其应用
角度制与弧度制定义
角度制是以度为单位来度量角的大小的制度，而弧度制则是以弧长为半径的圆的圆心角来度量角的大小的制度。
两者之间的转换公式
1度等于π/180弧度，1弧度等于180/π度。这些公式可用于将角度转换为弧度或将弧度转换为角度。
转换的注意事项
在进行角度制与弧度制的转换时，需要注意单位的统一，避免出现计算错误。
sin^2(x)+cos^2(x)=1，tan(x)=sin(x)/cos(x)等。这些关系式是三角函数的基础，对于三角函数的计算和应用具有重要意义。
三角函数基本关系式
可以通过三角函数的定义和几何意义来推导这些关系式，例如利用单位圆和三角函数线的性质来证明sin^2(x)+cos^2(x)=1。
关系式的推导过程
在推导三角函数基本关系式时，需要注意三角函数的定义域和值域，避免出现错误。
推导的注意事项
03
变换的注意事项
在进行三角恒等变换时，需要注意变换的条件和范围，避免出现错误。
01
三角恒等变换的定义
三角恒等变换是指通过三角函数的运算和变换，将一个三角函数式转化为另一个与之等价的三角函数式的过程。
02
常见的三角恒等变换技巧
包括和差化积、积化和差、倍角公式、半角公式等。这些技巧在三角函数的计算和应用中非常有用。
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三角函数在几何中具有重要的应用价值，可以用于求解各种几何问题，如角度、长度、面积等。
三角函数在几何中的意义
包括求解三角形的边长和角度、求解圆的弧长和扇形面积、求解空间几何问题等。这些问题都可以通过三角函数来求解。
常见的几何应用
在