固体光学第二章2.ppt
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2.4 克喇末(Kramas-Kronig)-克朗尼格(KK)变换 2.4.2 极化率和介电系数的KK变换 2.4.3 折射率和消光系数的KK变换 2.4.4 反射系数的KK变换 2.5 微分形式的KK变换 2.6 光学响应函数的求和法则 2.6.2 低频下的求和法则 * 凡是由因果关系决定的光学响应函数,其实部和虚部 之间并不完全独立,由此得出一系列关系式描述光学常数 之间的内在联系,这些关系被称为克喇末-克朗尼格( Kramas-Kronig)关系,简称KK关系。 2.4.1 光学响应函数及其性质 KK关系的物理基础是因果性原理,其内函是物理结果 只能发生在作用之后,而不是在其前。在常用光强范围内, 可以假定极化响应是线性的,即 (2.28) , 的傅里叶(Fourier)成分 , ,具有相同的光 学响应规律。令 表示在主轴方向的极化分量, 它是时间的 函数, 表示与 相同方向上 的分量 ,上述因果关 系可以表示为 (2.29) 上式的意思是 与 t 时刻之前所有的 有关。 一般地说,一个广义作用力 引起的广义位移 , 由以下运动方程决定 我们来讨论线性响应函数T(ω)的性质。 (2.30) 广义作用力 和广义位移 可以表示为 (2.31) 叫做响应函数。对于一个线性无源系统,根据Lorentz理 论,T(ω)可以表示为一组阻尼谐振子响应的叠加 (2.33) 由式(2.30)得过且过 (2.32) 响应函数有如下性质; ①解析性,引进ω的复平面ω = ωr + iωi,则上响应 函数在上半复平面是解析的,极点在下半复平面,即 (2.34) ②收敛性,当时, / ω一致地趋近于0, 因此, / ω沿着ω的上半复平面的一个无限半圆上的 积分为零。 ③奇偶性,由于 在时间和空间上的均匀性,不显含 t 和 r (或波矢κ),它仅仅是频率的函数。可以证明 T*(-ω)=T(ω) (2.35) 对于实的ω, 的实部Tr(ω)是偶函数,其虚部 Ti(ω)是奇函数。 为了说明上述因果关系,引入δ函数形式的作用场, 一个δ函数形式的作用场引起的极化可以表示为 (2.36) 是δ函数形式作用场,也就是单位作用场引起的极 化,对于任意形式的作用场 ,例如简谐形式的作用场, 引起的极化可以表示为 (2.37) (2.37) 由 得 (2.38) (2.39a) (2.39b) 式(2.38)的傅里叶反变换为 (2.40) 讨论: 1. 若t 0 ,则(2.40)式积分域在 ω 上半复平面,结果等于零。 2. 若t 0,函数ε(ω)-1在ω的下半复平面有奇异点,积分 不等于零。 定义复变函数 根据复变函数理论可得 采取如图2.11所示的积分线路,容易得到 (2.41) (2.42) (2.44) 其中科西积分的主值定义为 (2.44) 将 ,有 (2.45) 利用 的奇偶性以及积分换域公式, 最后得到极化率和电介函数KK关系 (2.46) (2.47) 利用光电导谱σr(ω)代替εi(ω)谱更为方便,由 εi(ω)=σr(ω)ε0ω得 (2.48) 图2.12 (a)Te(碲)晶体的光电导谱 ,(b)虚线为计算的εr(ω) 谱,实线为测得的εr(ω) 谱 εr(ω) εr(ω) εr(ω) εr(ω) εr(ω) εr(ω) εr(ω) εr(ω)
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