把上述四步简化为两步.DOC

定积分的微元法应用 实验项目 实验目的： 本实验通过利用微元发法的思想来求平面图形的面积与旋转体的体积，从只直观上加深理解定积分的微元法。 实验内容： 利用Matlab作图命令及作图工具分别做出平面图形及其面积微元、平面曲线绕坐标轴旋转而成的旋转体体积微元，从直观上理解定积分的微元法思想； 利用Matlab命令求面积及旋转体体积。 三、实验仪器、设备及材料： MATLAB软件 四、实验原理： 从定积分的定义求曲边梯形的面积可通过“分割、近似、求和、取极限”四步得到，这四步可简化为如下两步： （图1） （1）选取为积分变量，积分区间为，在区间上任取一代表区间（如图1所示）. 以处的函数值为高、为底的小矩形的面积作为上小曲边梯形面积的近似值，即 即得面积的微元（也称面积元素） （2）将面积微元在上积分，得 . 一般地，对于某一个所求量，如果选好了积分变量和积分区间，求出的微元，便可求得.这种方法称为定积分的微元法. 应用这种方法需注意以下两点： （1）所求量对区间具有可加性，即可以分解成每个小区间上部分量的和； （2）部分量与微元相差一个的高阶无穷小（在实际问题中，所求出来的近似值一般都具有这种性质）. 下面通过元素法求旋转体的体积： 旋转体就是一个平面图形绕着该平面的一条直线旋转一周而成的立体.圆柱、圆锥、圆台、球都是旋转体. （图2） 设一旋转体是由连续曲线、直线 及轴所围成的平面图形绕轴旋转一周而成的立体（如图2）.我们利用定积分计算旋转体的体积. 取横坐标为积分变量，它的变化区间为，相应于上的任取一个小区间的小曲边梯形绕轴旋转一周而成的薄片的体积（即体积微元）为 以为被积表达式，在上求定积分，便得所求旋转体所体积，即 类似地，还可以得到上由连续曲线绕轴旋转而成的体积公式为 以上求体积的过程都是通过取小圆柱体为体积微元。为了说明微元的选取并不唯一，我们再介绍一种“柱壳法”。 （图3） 设曲线与x轴围成封闭区域，求此区域绕y轴旋转而成的立体体积： 如图3，以薄圆柱筒形作为体积微元，其半径为x,厚度为dx，高度为f(x),此筒形微元的截面积为f(x)*dx,体积微元为dv=2*pi*x*dx*f(x),所以旋转体的体积为。 练习：请按要求完成以下各题。 1.计算由两条抛物线所围成的图形的面积。 步骤1：先用Matlab中的fplot命令画出两条抛物线的图形； 步骤2：在以上图形窗口中利用图形编辑工具画出面积微元； 步骤3：用solve函数求解两条抛物线方程构成的方程组，求出两条抛物线的交点，由此确定积分上下限； 步骤4：用int命令求出面积。 2.求曲线g(x)=x sin2x(0＜x＜π) 与x轴所围成的图形分别绕x轴和y轴旋转所形成的旋转体的体积。 步骤1：先画出曲线的平面图形； 步骤2：在图形上画出体积微元； 步骤3：根据所画出的体积微元，确定积分变量； 步骤4：用int命令求出旋转体体积。 六、实验报告要求： 1.按所给步骤操作，要求把所得图形用抓屏（键盘上按prtsc键）保存下来； 2．求面积或体积需要分步用matlab命令作图或完成计算。 七、思考题： 在等腰直角三角形中，取如图4中所标示的作为斜边长度的微元是否可行？若不行，请说明理由。　 （图4）