结构动力分析1-1.ppt

* 这些基础知识在后面具体方法中都会用到， 因此首先介绍这些内容。 本章主要介绍： 向量的内积、正交等概念 矩阵相似变换、正交变换概念 标准特征问题基本性质 向量正交化方法（G—S方法） 矩阵三角分解、QR分解 * （ * 通过H变换和Givens变换实现QR分解 ） 第一章 基 础 知 识 第 一 章 基 础 知 识 引 言 §1—1 向量的内积和正交 一、向量空间 子空间 1、实数域： n 维实向量{x}的全体（集合）称为 n 维线性空间，记为R n则 复数域： n 维复向量{x}的全体，记为C n ，则 均为线性空间 第 一 章 基 础 知 识 第一节 向量的内积和正交 称为实空间。 另外： 是m×n阶实矩阵 集合。 是m×n阶复矩阵 集合。 均为线性空间。 称为复空间。 和 2、子空间的概念 设有 个向量： 由这 m 个向量的任何线性组合所构成的集合： 称为 的由 所生成的子空间， 记为 称为生成向量。 第 一 章 基 础 知 识 第一节 向量的内积和正交 特别当 子空间的维数 = m 即 是 的一个m维子空间。 二、向量的内积和正交 1、向量内积的定义 设有 在实数域线性空间中定义内积： 则 在 中定义了内积的向量集合 —称为 n 维欧几里德空间 （或称为内积空间） 第 一 章 基 础 知 识 第一节 向量的内积和正交 线性无关时， ① 在复数域上两向量内积定义： 则 如设 （复数域上 n 维线性空间 内积定义） ——转置共轭。 2、内积的性质（共4条） （1）对称性质 ——实数域 ——复数域 第 一 章 基 础 知 识 第一节 向量的内积和正交 时，就是常说的几何空间。 当 ② 式中 （2）线性性质 ——实数域 为实数 证： （由性质（1）得） 证毕。 第 一 章 基 础 知 识 第一节 向量的内积和正交 （3）结合性 （4）正定性 当 时， 内积＞0 当且仅当 时， 有了“内积”定义，我们就可以定义向量的模和向量的夹角。 第 一 章 基 础 知 识 第一节 向量的内积和正交 ①向量的模（或长度，或欧几里德范数） 定义： 例如： 则 模： 3、向量的模、夹角与正交 第 一 章 基 础 知 识 第一节 向量的内积和正交 ②向量的夹角 由（许瓦兹）Schwarz不等式 即 ：两向量内积绝对值≤两向量模的乘积。 第 一 章 基 础 知 识 第一节 向量的内积和正交 上式两边平方，即 即： 因此，可根据Schwarz不等式定义两向量 之间的夹角： 和 则 角描述了两向量之间的相关程度。 第 一 章 基 础 知 识 第一节 向量的内积和正交 可见：二向量之间的夹角越小，其相关程度越大； 当θ为零时，二向量相互平行—线性相关。 即 当 时， 反之，若 则 两向量正交！ 第 一 章 基 础 知 识 第一节 向量的内积和正交 ③两向量正交的概念（由内积定义引出）： 定义：设 若 则称 与 正交。 记为 特别当 时，且 称 与 相互规范正交，（规一化！） 说明：复数域上 n 维线性空间 中向量的模， 向量间夹角与两向量正交的概念与 中完全相同。 第 一 章 基 础 知 识 第一节 向量的内积和正交 不再重复叙述。 三、广义内积、模、正交、规范正交 ∵工程实际一般要求特征问题为 称为广义特征问题。 因此需引出广义加权内积、加权规范化和加权正交等概念。这里的权表现为质量矩阵。 设[M]是正定的对称质量矩阵 1、广义内积定义 第 一 章 基 础 知 识 第一节 向量的内积和正交 可以证明：当[M]对称正定时，即 广义内积满足前面内积的4条性质，否则将不具有前4条性质！ 2、广义模定义： 3、广义正交定义： 当 时， 称 与 广义正交，即 第 一 章 基 础 知 识 第一节 向量的内积和正交