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PAGE PAGE 1 第五讲 概率分布方法建模 第一部分基础知识 一、事件与概率 1．随机事件 在随机试验中，把一次试验中可能发生也可能不发生、而在大量重复试验中却呈现某种规律性的事件称为随机事件(简称事件)．通常把必然事件(记作)与不可能事件(记作)看作特殊的随机事件． 2．事件的关系及运算 (1) 包含：若事件发生，一定导致事件发生，那么，称事件包含事件，记作(或)． (2) 相等：若两事件与相互包含，即且，那么，称事件与相等，记作． (3) 和事件：“事件A与事件B中至少有一个发生”这一事件称为A与B的和事件，记作；“n个事件中至少有一事件发生”这一事件称为的和，记作（简记为）． (4) 积事件：“事件A与事件B同时发生”这一事件称为A与B的积事件，记作 (简记为)；“n个事件同时发生”这一事件称为的积事件，记作（简记为或)． (5) 互不相容：若事件A和B不能同时发生，即，那么称事件A与B互不相容(或互斥)，若n个事件中任意两个事件不能同时发生，即 (1≤ij≤n)，那么，称事件互不相容． (6) 对立事件：若事件A和B互不相容、且它们中必有一事件发生，即且，那么，称A与B是对立的．事件A的对立事件(或逆事件)记作． (7) 差事件：若事件A发生且事件B不发生，那么，称这个事件为事件A与B的差事件，记作(或) ． 　　(8) 交换律：对任意两个事件Ａ和B有 ，． 　　(9) 结合律：对任意事件A，B，C有 ，． (10) 分配律：对任意事件A，B，C有 ， (11) 德摩根（De Morgan）法则：对任意事件A和B有 二、频率与概率的定义 1． 频率的定义 设随机事件A在n次重复试验中发生了次，则比值／n称为随机事件A发生的频率，记作，即 . 2．概率的统计定义 在进行大量重复试验中，随机事件A发生的频率具有稳定性，即当试验次数n很大时，频率在一个稳定的值(01)附近摆动，规定事件A发生的频率的稳定值为概率，即． 3． 古典概率的定义 具有下列两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型： 试验的样本空间是个有限集，不妨记作 ; (ii) 在每次试验中，每个样本点(）出现的概率相同，即 ． 　　　在古典概型中，规定事件A的概率为 ． 4．几何概率的定义 如果随机试验的样本空间是一个区域(可以是直线上的区间、平面或空间中的区域)，且样本空间中每个试验结果的出现具有等可能性，那么规定事件Ａ的概率为 · 5．　概率的公理化定义 设随机试验的样本空间为，随机事件A是的子集，是实值函数，若满足下列三条公理： 公理1 (非负性) 对于任一随机事件Ａ，有≥0； 公理2 (规范性) 对于必然事件，有； 公理3 (可列可加性) 对于两两互不相容的事件，有 ， 则称为随机事件Ａ的概率． 6．概率的性质 由概率的三条公理可导出下面概率的一些重要性质 (1) ． (2) (有限可加性) 设n个事件两两互不相容，则有 ． (3) 对于任意一个事件A： ． (4) 若事件A，B满足，则有 , ． (5) 对于任意一个事件A，有． (6) (加法公式) 对于任意两个事件A，B，有 对于任意n个事件，有 . 7．条件概率与乘法公式 设A与B是两个事件．在事件B发生的条件下事件A发生的概率称为条件概率，记作．当，规定 . 在同一条件下，条件概率具有概率的一切性质． 乘法公式：对于任意两个事件A与B，当,时，有 . 8．随机事件的相互独立性 如果事件A与B满足 ， 那么，称事件A与B相互独立． 关于事件A，B的独立性有下列两条性质： (1) 如果，那么，事件A与B相互独立的充分必要条件是；如果，那么，事件A与B相互独立的充分必要条件是． 这条性质的直观意义是“事件A与B发生与否互不影响”． (2) 下列四个命题是等价的： (i) 事件A与B相互独立； (ii) 事件A与相互独立； (iii) 事件与B相互独立； (iv) 事件与相互独立． 对于任意n个事件相互独立性定义如下：对任意一个，任意的，若事件总满足 ， 则称事件相互独立．这里实际上包含了个等式． 9．贝努里概型与二项概率 设在每次试验中，随机事件Ａ发生的概率，则在n次重复独立试验中．，事件Ａ恰发生次的概率为 ， 称这组概率为二项概率． 10．全概率公式与贝叶斯公式 全概率