第三章_课件3.doc

§3 最佳平方逼近 前面讨论的最佳一致逼近是在最大模（逐点）意义下的最佳逼近问题 本节主要讨论平均意义下的最佳逼近问题，即 最佳平方逼近 主要分两种情形： 连续意义下 在空间中讨论 离散意义下 在维欧氏空间中讨论，只要求提供的样本值 一、连续情形的最佳平方逼近问题（在中） 整体逼近误差的度量（范数）： 为此引入 内积空间： 上满足可积的函数的全体，且 . 将上述作为度量 由逼近空间的不同分为两种连续情形的最佳平方逼近问题 逼近空间1：代数多项式空间 逼近空间2：三角多项式空间 以下主要讨论代数多项式空间 问题的提法 对，求，使得 ， （*1） 称为的最佳平方逼近多项式，为子空间对函数的最佳逼近. 问题的适定性 一般最佳逼近问题的存在性，已经讨论（见书§2节） 下面讨论唯一性 定理 对，在中存在的唯一最佳平方逼近多项式. 证明 用反证法. 设在中有两个不同的最佳逼近多项式，令 ， 记 则有 即也是的最佳逼近多项式 . , 与假设矛盾，证毕. 问题的收敛性 一般最佳逼近问题的收敛性，都可由最佳逼近问题的提法 以及Weierstrass定理可得：最佳逼近问题是收敛的. 算法 内积空间中最佳逼近多项式的特征性质 定理8 ， 是的最佳逼近多项式 误差函数与中的任意多项式正交，即 . 证明 “必要性”， 用反证法。 设，使.令 ， ， 则 . 即不是的最佳逼近多项式，矛盾，从而必要性得证. “充分性” 若，有，则 . 为的最佳逼近多项式. 充分性得证. 其几何意义见下图,从图中可见, 在中的正交投影便是的最佳逼近多项式. 最佳逼近多项式的法方程组 设的维子空间 =span, 其中 是的线性无关多项式系. 对，设其最佳逼近多项式可表示为: 由 即 （） 称(*2)式为最佳逼近多项式的法方程组（或正规方程组）. 记 阶对称矩阵 由的线性无关性，可证明正定，即 上述法方程组的解存在且唯一 . 例 设，求在上的一次最佳平方逼近多项式. 解 设所求的最佳一次逼近多项式为 ， 经计算可得： . 代入法方程组 即 在上的一次最佳平方逼近多项式为： . 缺陷： 该算法是利用中的幂函数基，，求最佳平方逼近多项式.当较大时，由法方程组（*3）上的函数系称为的带权正交基 (称为上的带权的次正交多项式)，若它满足： ① 恰为次多项式，即 ； ② ， 特别， 若，则称为上的标准（正规）正交基. 易知： 对，有 . (2) 几类特殊的带权正交多项式 (a). 勒让德（legendre）多项式 设[-1，1]上，令，由正交化可得勒让德多项式，具体表达式是 实用中，由于求高阶导数较麻烦，因而常按以下递推公式计算 称为勒让德多项式. 称为[-1，1]上的正规正交基. 由上述递推式可知 ：当为偶数时，为偶函数； 当为奇数时，为奇函数. (b). Chebyshev多项式 . 由Chebyshev多项式的性质3知， 是[-1，1]上带权的次正交多项式. 上述定义的也称为第一类Chebyshev多项式. (c).其它正交多项式 ⅰ.第二类Chebyshev多项式 . 它是[-1，1]上带权的次正交多项式. ⅱ.拉盖尔（Laguerre）多项式 . 它是上带权的次正交多项式. ⅲ.埃尔米特(Hermite)多项式 . 它是上带权的次正交多项式. 利用正交多项式作基函数建立法方程组 将法方程组（*2）中的用 代替，有 若两两正交（这时称该多项式系为空间的正交基），则 矩阵成为对角矩阵，可直接得解. 此时，最佳逼近多项式为： 称上式为的广义富氏展开，相应的系数称为广义富氏系数. 近似Chebyshev逼近 利用带权的Chebyshev正交多项式，及 可给出的次最佳平方逼近多项式： (*4) 其中： ：上满足可积的函数的全体， . 称(*4)式为按Chebyshev多项式展开的部分和. 可以证明,，当时， 一致收敛于（