商品的订购和销售的数学模型.doc

商品的订购与销售的数学模型 陈润凤1, 何敏洪2, 官金兰1 1.韶关学院2001级数学与应用数学本科（1）班 广东 韶关 512005; 2.韶关学院2002级数学与应用数学本科班 广东 韶关 512005 [摘要]:本问题是有关商店获利的运筹学问题.本文通过对1~4月4个月内商店销售商品的总售价、总成本以及总存贮费的计算，建立了使总利润获利最大的目标函数的数学模型，此模型为一个二次规划的非线性的优化模型.对于所建立的二次规划模型，本文把此模型分解为两个模型:模型Ⅰ、模型Ⅱ,并利用数学软件（Matlab）分别求解这两个模型,得出了1~4月份每月份的进货量分别为5,10,10,8(单位)；售出量分别为10,10,10,8(单位)；以及每月存贮的商品量分别为0(5),0,0,0(单位).从而解出了1~4月份商店商品的总售价为396千元；总成本为213.5千元；总的存贮费为2.5千元.通过对以上部分的计算求出了4个月内商店所获的最大利润为180.0千元. 关键词：二次规划;非线性优化;模型分解 1 问题的提出 某商店在未来4个月内，准备利用商店里一个仓库专门经销某种商品，该仓库最多能存放10单位商品.设商店每月只能售出仓库现有的货，而每月所购的货只能在下个月初到货，又设该商品在1月初的存货为5单位，而1~4月该商品的售价分别为12，9，13，7（千元），而进货价则与进货量有关，分别为 其中为第月份的购买量.又设每个月月底存货在下个月的存贮费用每单位为千元.试制订进货及销售计划，使总利润最大. 2 问题的分析 本问题是一个有关商店获利的运筹学问题，目的是制订进货及销售计划，使总利润最大，而由题意可以知道: 因此，只要对售出商品总价、成本、存贮费进行计算优化，然后再制订出商品的进货与销售计划，使商店所获利润最大即可. 3 问题的基本假设与符号说明 3.1 基本假设 1 该仓库最多能存放10单位商品 2 该商店每月只能售出仓库现有的货 3 每个月所购的货只能在下个月初到货 4 该商品在1月初的存货为上年剩下的，1月份所到的货为上年12月所订 5 每个月月底存货在下个月的贮存费用每单位0.5千元 3.2 符号的说明 4 模型的建立 4.1 售出商品总价 4.2 总成本 4.3总的存贮费用 由假设4可知: 去年12月份存货 1月份商品总数为 1月份剩余商品数为 2月份剩余商品数为 3月份剩余商品数为 4月份剩余商品数为 由于 4月份的存货其贮存费算在5月份内 可忽略4月份的存货不计 即1-4月份四个月内共存货 总的存贮费用为 4.4 目标函数: 总利润 目标函数: 5 模型的求解 所建立的数学模型为二次规划模型,含有8个未知量.为了简化计算,把模型分为两个分模型,然后再用数学软件(Matlab)求解出最优解. 5.1 模型的分解 我们把目标函数 分解为 模型Ⅰ: 5.2模型Ⅰ的求解 的求解： 由于此目标函数为二次非线性规划,故可以用数学软件(Matlab)中的二次优化中的函数可求出 程序 (见附录一): 可以求出: 由于为第月份所购买的商品量,所以,即取整数. 故有 从而求得， 5.3 模型Ⅱ的求解 的求解 易由题意知： 易知，此分模型为一次线性规划模型，也可用数学软件（Matlab）求得与. 程序 (见附录二)： 可得到最优解为 即当时， 5.4 的求解 所以商店在1~4月份4个月内所获得的总的利润最大为千元. 即 当商店获得最大利润时， 1~4月内商店对商品的进货量、售货量、存货量以及所获得总的利润如表所示： 月份 1 2 3 4 进货量（单位） 5 10 10 8 售货量（单位） 10 10 10 8 月底存货量（单位） 0 (5) 0 0 0 总利润（千元） 180.0 并解得, 售出商品的总价为:千元 总成本为: 总存贮费为:千元. 6 结果的分析与检验 6.1 结果的分析 用软件求得,当且时,商店能获得的最大利润为180.0千元,即是说能把商店的仓库里所有的存货与所进的货能全售出去的时候,这时,可不计月底存货的存贮费用以及用多余的钱去进可能售出去的货.此时,商店获得的利润最大 . 6.2 结果的检验 当时, 而上年的12月份存货到1月份有5单位的货,即1月份共有货 单位.我们知道,即1月份就把货全售了出去,没货存到2月份. 此时,1月份的总售价为千元,存贮费用为千元,总的进货价为千元. 1月份所获利润为千元. 同理,2月份共有货单位,而售出单位,此时存货为0单位. 这时,2月份的总售价为千元,存贮费为0,进货价为千元