2025年北京市海淀区高三一模（暨期中考试）数学试卷及答案.docx

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2024北京海淀高三一模

数学

2024.05

本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合，.若，则的最大值为

（A） （B）

（C） （D）

（2）在的展开式中，的系数为

（A）（B）

（C）（D）

（3）函数是

（A）偶函数，且没有极值点（B）偶函数，且有一个极值点

（C）奇函数，且没有极值点（D）奇函数，且有一个极值点

（4）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，.则线段的中点的纵坐标为

（A） （B）

（C） （D）

（5）在中，，，，则的长为

（A）或 （B）

（C） （D）

（6）设，，且，则

（A） （B）

（C） （D）

（7）在中，，，点满足，且，则

（A）（B）

（C）（D）

（8）设是公比为（）的无穷等比数列，为其前项和，．则“”是“存在最小值”的

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

（9）设函数的定义域为，对于函数图象上一点，若集合只有个元素，则称函数具有性质.下列函数中具有性质的是

（A） （B）

（C） （D）

（10）设数列的各项均为非零的整数，其前项和为.若（，）为正偶数，均有，且，则的最小值为

（A）（B）

（C）（D）

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

（11?）若，则．

（12）已知双曲线：，则的离心率为；以的一个焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为．（写出一个即可）

（13）已知函数.

（ⅰ）若，则函数的最小正周期为；

（ⅱ）若函数在区间上的最小值为，则实数．

（14）二维码是一种利用黑、白方块记录数据符号信息的平面图形．某公司计划使用一款由（）个黑白方块构成的QUOTEn×n二维码门禁，现用一款破译器对其进行安全性测试，已知该破译器每秒能随机生成QUOTE216个不重复的二维码，为确保一个二维码在分钟内被破译的概率不高于，则的最小值为.

（15）如图，在正方体中，为棱上的动点，平面，为垂足.给出下列四个结论：

①；

②线段的长随线段的长增大而增大；

③存在点，使得；

④存在点，使得平面．

其中所有正确结论的序号是．

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（16）（本小题13分）

已知函数（），从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若不等式在区间内有解，求的取值范围．

条件①：；

条件②：的图象可由的图象平移得到；

条件③：在区间内无极值点，且.

注：如果选择的条件不符合要求，得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

（17）（本小题14分）

在三棱锥中，，为的中点.

（Ⅰ）如图1，若为棱上一点，且，求证：平面平面；

（Ⅱ）如图2，若为延长线上一点，且平面，，直线与平面所成角为，求直线与平面所成角的正弦值.

（18）（本小题13分）

图像识别是人工智能领域的一个重要研究方向.某中学人工智能兴趣小组研发了一套根据人脸照片识别性别的程序.在对该程序的一轮测试中，小组同学输入了张不同的人脸照片作为测试样本，获得数据如下表（单位：张）：

识别结果

真实性别

男

女

无法识别

男

女

假设用频率估计概率，且该程序对每张照片的识别都是独立的.

（Ⅰ）从这张照片中随机抽取一张，已知这张照片的识别结果为女性，求识别正确的概率；

（Ⅱ）在新一轮测试中，小组同学对张不同的男性人脸照片依次测试，每张照片至多测一次，当首次出现识别正确或张照片全部测试完毕，则停止测试.