计算机算法设计跟分析【王晓东-电子工业出版本社-2版本】-第4节.ppt

上海金融学院信息管理系 第4章 贪心算法 我们看一个找硬币的例子。假设有四种硬币，它们的面值分别为：2角5分，1角，5分，1分。现在要找给顾客6角3分。怎样找使得给顾客的硬币最少。 我们下意识地使用了这样的找硬币算法：首先选出一个不超过6角3分的最大硬币，然后，从6角3分中减去，再在剩余的值中选出一个不超过该值的最大硬币，如此反复，直到找够为止。这个找硬币的算法就是贪心选择算法。 如果上述问题改为：要找给顾客1角5分，硬币的面值分别为：1角1分，5分和1分。这时用贪心算法，给顾客找的情况是：一个1角1分和四个1分。而找三个5分为最优找法。故贪心算法不是对所有问题都能得到整体最优解。 学习要点 理解贪心算法的概念。 掌握贪心算法的基本要素 （1）最优子结构性质 （2）贪心选择性质 理解贪心算法与动态规划算法的差异 理解贪心算法的一般理论 通过应用范例学习贪心设计策略。 （1）活动安排问题； （2）最优装载问题； （3）哈夫曼编码； （4）单源最短路径； （5）最小生成树； （6）多机调度问题。 顾名思义，贪心算法总是作出在当前看来最好的选择。也就是说贪心算法并不从整体最优考虑，它所作出的选择只是在某种意义上的局部最优选择。当然，希望贪心算法得到的最终结果也是整体最优的。虽然贪心算法不能对所有问题都得到整体最优解，但对许多问题它能产生整体最优解。如单源最短路经问题，最小生成树问题等。在一些情况下，即使贪心算法不能得到整体最优解，其最终结果却是最优解的很好近似。 4.1 活动安排问题 活动安排问题就是要在所给的活动集合中选出最大的相容活动子集合，是可以用贪心算法有效求解的很好例子。该问题要求高效地安排一系列争用某一公共资源的活动。贪心算法提供了一个简单、漂亮的方法使得尽可能多的活动能兼容地使用公共资源。 4.1 活动安排问题 4.1 活动安排问题 templateclass Type void GreedySelector(int n, Type s[], Type f[], bool A[]) { A[1]=true; int j=1; for (int i=2;i=n;i++) { if (s[i]=f[j]) { A[i]=true; j=i; } else A[i]=false; } } 4.1 活动安排问题 由于输入的活动以其完成时间的非减序排列，所以算法greedySelector每次总是选择具有最早完成时间的相容活动加入集合A中。直观上，按这种方法选择相容活动为未安排活动留下尽可能多的时间。也就是说，该算法的贪心选择的意义是使剩余的可安排时间段极大化，以便安排尽可能多的相容活动。 算法greedySelector的效率极高。当输入的活动已按结束时间的非减序排列，算法只需O(n)的时间安排n个活动，使最多的活动能相容地使用公共资源。如果所给出的活动未按非减序排列，可以用O(nlogn)的时间重排。 4.1 活动安排问题 例：设待安排的11个活动的开始时间和结束时间按结束时间的非减序排列如下： 4.1 活动安排问题 算法greedySelector 的计算过程如左图所示。图中每行相应于算法的一次迭代。阴影长条表示的活动是已选入集合A的活动，而空白长条表示的活动是当前正在检查相容性的活动。 4.1 活动安排问题 若被检查的活动i的开始时间Si小于最近选择的活动j的结束时间fi，则不选择活动i，否则选择活动i加入集合A中。 贪心算法并不总能求得问题的整体最优解。但对于活动安排问题，贪心算法greedySelector却总能求得的整体最优解，即它最终所确定的相容活动集合A的规模最大。这个结论可以用数学归纳法证明。 4.2 贪心算法的基本要素 本节着重讨论可以用贪心算法求解的问题的一般特征。 对于一个具体的问题，怎么知道是否可用贪心算法解此问题，以及能否得到问题的最优解呢?这个问题很难给予肯定的回答。 但是，从许多可以用贪心算法求解的问题中看到这类问题一般具有2个重要的性质：贪心选择性质和最优子结构性质。 4.2 贪心算法的基本要素 1、贪心选择性质 4.2 贪心算法的基本要素 当一个问题的最优解包含其子问题的最优解时，称此问题具有最优子结构性质。问题的最优子结构性质是该问题可用动态规划算法或贪心算法求解的关键特征。 4.2 贪心算法的基本要素 贪心算法和动态规划算法都要求问题具有最优子结构性质，这是2类算法的一个共同