matlab课件——第六章 Mathematica软件介绍及其应用.ppt

4. Eigenvalues［A］ 功能：求矩阵A的特征值表. 5. Eigenvectors［A］ 功能：求矩阵A的特征向量表. 6. Eigensystem［A］ 功能：求A的所有特征值，特征向量组成的表. 线性方程组的应用 【例 1】 工资问题 一个木工，一个电工，一个油漆工，三个人相互同意彼此装修他们自己的房子。在装修之前，他们达成如下协议： （1）每人总工作十天（包括给自己家干活在内）； （2）每人的日工资根据一般的市价在60~80元之间； （3）每人的日工资数应使得每人的总收入与总支出相等。 下表为他们协商后的制定出的工作天数分配方案： 木工 电工 油漆工 在木工家的工作天数 2 1 6 在电工家的工作天数 4 5 1 在油漆工家的工作天数 4 4 3 一、问题分析与数学模型 这实际上是一个投入产出问题，设x1表示木工的日工资；x2表示电工的日工资；x3表示油漆工的日工资。 木工的10个工作日总收入为10x1，木工、电工及油漆 工三人在木工家工作的天数分别为：2天、1天、6天，则木工的总支出为2x1+x2+6x3。 由于木工总支出与总收入要相等，于是木工的收支平 衡关系为： 2x1+ x2+6x3=10x1 同理电工的收支平衡关系为： 4x1+5x2+x3=10x2 油漆工的收支平衡关系为： 4x1+4x2+3x3=10x3 联立上述三个方程并整理得： 二、程序与求解： A={{-8,1,6},{4,-5,1},{4,4,-7}}; (*系数矩阵*) NullSpace[A] Out = {{31,32,36}} 因此,方程的通解为x=k{31,32,36}={31k,32k,36k}，k为任意的实数，每人的日工资范围在60－80元。 最后，为了确定满足条件 的方程组的解，根据题意，我们取k＝2 。 尽管这一问题是在方程组的无穷多组解中寻求解答，但是由于题目条件限制，对于参数k,没有更多的选择余地。为了使日工资为整数值，可确定k=2,使得 木工日工资：62元／日 电工日工资：64元／日 油漆工日工资：72元／日 【例 2】 世界人口预测问题 据统计，20世纪60年代世界人口数据如下表所示，有人根据表中数据，预测2000年世界人口会超过60亿。这一结论在20世纪60年代末令人难以置信，但现在已成为事实。作出这一预测结果所用的方法就是数据拟和方法，根据数学模型，构造出能逼近下表中数据的拟和函数。正是拟和函数反映了人口增长的趋势。试根据下表中数据构造拟和函数，预测2000年时的世界人口 。 年 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 人口 29.72 30.61 31.51 32.13 32.34 32.85 33.56 34.02 34.83 一、问题分析与数学模型 据人口增长的统计资料和人口理论数学模型知，当人口总数N不是很大时，在不太长的时期内，人口增长接近于指数增长。因此，采用指数函数 对数据进行拟合。 为了计算方便，将上式两边同取对数，得lnN=a+bt,令 y=lnN，变换后的拟和函数为 t 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 y＝lnN 3.3918 3.4213 3.4503 3.4698 3.4763 3.4920 3.5133 3.5322 3.5505 二、程序与求解： 所以2000年的世界人口预测为63.2389亿。这一数据虽然不是十分准确，但是基本反映了人口变化趋势。 输出结果： N[2000]= 63.2389 矩阵的应用 设A是n阶方阵， 是一个数。如果存在非零的列向量x使得 成立，则称数 为方阵A的特征值，非零向量x称为方阵A的属于特征值的一个特征向量。 Mathematica命令： Eigenvalues(A) 求A的特征值 Eigenvectors(A) 求A的特征值和特征向量 【例 3】 商品的市场占有率问题 有两家公司R和S经营同类的产品，他们相互竞争。每年R公司保有1/4的顾客，而3/4转移向S公司；每年S公司保有2/3的顾客，而1/3转移向R公司。当产品开始制造时R公司占有3/5的市场份额，而S公司占有2/5的市场份额。 问两年后，两家公司所占的市场份额变化怎样，五年以后会怎样？十年以后如何？ 一、问题分析与数学模型 根据两家公司每年顾客转移的数据资料，形成一下转移矩阵 ： 根据产品制造之处，市场的初始分配数据可得如下向量： 所以一年后，市场分配