2019届高考数学（北师大版文）复习配套练习：第八章　立体几何与空间向量+第2讲　简单几何体的表面积与体积+Word版含答案.doc

第2讲　简单几何体的表面积与体积 一、选择题 1．(2015·全国卷)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有(　　) A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛 解析　设米堆的底面半径为r尺，则r＝8，所以r＝. 所以米堆的体积为V＝×π·r2·5＝·2·5≈(立方尺)． 故堆放的米约有÷1.62≈22(斛)． 答案　B 2.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则主视图中的x的值是(　　) A．2 　　B. C. 　　D．3 解析　由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，且S底＝(1＋2)×2＝3.V＝x·3＝3，解得x＝3. 答案　D 3．(2017·合肥模拟)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是(　　) A．1＋ B．2＋ C．1＋2 D．2 解析　 四面体的直观图如图所示． 侧面SAC底面ABC，且SAC与ABC均为腰长是的等腰直角三角形，SA＝SC＝AB＝BC＝，AC＝2. 设AC的中点为O，连接SO，BO，则SOAC，又SO平面SAC，平面SAC∩平面ABC＝AC， SO⊥平面ABC，又BO平面ABC，SO⊥BO. 又OS＝OB＝1，SB＝， 故SAB与SBC均是边长为的正三角形，故该四面体的表面积为2×××＋2××()2＝2＋. 答案　B 4．(2015·全国卷)已知A，B是球O的球面上两点，AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为(　　) A．36π B．64π C．144π D．256π 解析　因为AOB的面积为定值，所以当OC垂直于平面AOB时，三棱锥O－ABC的体积取得最大值．由×R2×R＝36，得R＝6.从而球O的表面积S＝4πR2＝144π. 答案　C 5.(2017·宝鸡模拟)如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为平行四边形，NB＝2PN，则三棱锥N－PAC与三棱锥D－PAC的体积比为(　　) A．12 B．18 C．16 D．13 解析　设点P，N在平面ABCD内的投影分别为点P′，N′，则PP′平面ABCD，NN′平面ABCD，所以PP′NN′，则在BPP′中，由BN＝2PN得＝. V三棱锥N－PAC＝V三棱锥P－ABC－V三棱锥N－ABC＝SABC·PP′－ SABC·NN′＝SABC·(PP′－NN′)＝SABC· PP′＝SABC·PP′，V三棱锥D－PAC＝V三棱锥P－ACD＝SACD·PP′，又四边形ABCD是平行四边形，S△ABC＝SACD，＝.故选D. 答案　D 二、填空题 6．现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________． 解析　设新的底面半径为r，由题意得πr2·4＋πr2·8＝π×52×4＋π×22×8，解得r＝. 答案　 7．已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为________． 解析　依题意可知正四棱柱体对角线的长度等于球的直径，可设球半径为R，则2R＝＝2， 解得R＝1，所以V＝R3＝. 答案　π 8．(2017·郑州质检)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________． 解析　 由三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为2的圆柱和底面半径为1，高为1的半圆锥拼成的组合体．体积V＝π×12×2＋×π×12×1＝π. 答案　 π 三、解答题 9．已知一个几何体的三视图如图所示. (1)求此几何体的表面积； (2)如果点P，Q在主视图中所示位置，P为所在线段中点，Q为顶点，求在几何体表面上，从P点到Q点的最短路径的长． 解　(1)由三视图知该几何体是由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和． S圆锥侧＝(2πa)·(a)＝πa2， S圆柱侧＝(2πa)·(2a)＝4πa2， S圆柱底＝πa2， 所以S表＝πa2＋4πa2＋πa2＝(＋5)πa2. (2)沿P点与Q点所在母线剪开圆柱侧面，如图． 则PQ＝＝＝a， 所以从P点到Q点在侧面上的最短路径的长为a. 10．(2015·全国卷)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平