电大微积分应用题.doc

试卷第四题-------应用题（本题16分） 1:欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方形开口容器，问怎样做法用料最省？ 解：第一步:写出表面积所用的材料的表达式 设底边的边长为，高为，用材料为，由容积公式得 表面积为: (方法: 开口容器容积=四个侧面积+一个底面积) 第二步:对上面表达式求导数 第三步:令 解得 第四步: 答话 因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一， 所以，当 ， 用料最省。 2．欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方形开口容器，问怎样做法用料最省？ 解：设底边的边长为，高为，用材料为，由已知， 令 解得 因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当 ， 用料最省。 3: 用钢板焊接一个容积为4的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？ 解：说明:谁的表面积越小谁的费用就越低 所以先求最小表面积 ,在求最小表面积时就同题型1 解：第一步:写出表面积所用的材料的表达式 设水箱的底边长为，高为，表面积为，由容积公式得 则表面积为: (方法: 开口容器的表面积=四个侧面积+一个底面积) 第二步:对上面表达式求导数 第三步: 令，得， 第四步: 答话 因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一， 所以，当时水箱的表面积最小. 此时的费用为 （元） 4．今欲做一体积为的圆柱形无盖的容器，其底用钢板，侧面用铝板，若已知每平方米钢板的价格为铝板的三倍，试问如何取圆柱的高和半径，才能使造价最低？ 解：设容器的底半径为，高为 铝板的单价为， 总造价为 则总造价为： 令，得， 因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当时可使用料最省. 此时 5:某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时 可使用料最省 解：第一步:写出表面积所用的材料的表达式 设容器的底半径为，高为 表面积为 由体积公式得 则表面积为： (方法: 有盖容器的表面积=侧面积+两个底面积) 第二步:对上面表达式求导数 第三步: 令，得， 第四步: 答话 因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一， 所以，当时可使用料最省. 此时 6．你被要求设计一个容量为1L的圆柱形油罐，什么样的尺寸用料最省 解：设底半径为，高为， 则表面积为： 令，得， 因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当时可使用料最省. 此时 7．设矩形的周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。 解 设矩形的边长分别为，（厘米），则有 又旋转成的圆柱体的体积为： 求导得： 令得 因为本问题存在最大值，且函数的驻点唯一，所以以矩形短边为旋转轴时可使圆柱的体积最大。 8．设有一块边长为的正方形铁皮，从它的四角截去同样大小的正方形，做成一个无盖方盒子，问截去的小正方形为多大才能使做成的方盒子容量最大？ 解 解：设小正方形的边长为，容积为 于是 令 解得 （舍去） 因为本问题存在最大值，且函数的驻点唯一，所以，小正方形的边长为，容积最大。 9．一块矩形的农田，一边靠河，另三边用单股的电线围栏围起来，长的电线由你支配，你能围起来的最大矩形面积为多少：矩形的尺寸是什么？ 解：设矩形长为，宽为，矩