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如何理解方差和标准差的意义？

随机变量X的方差为:D(X)E(X-E(X))2,方差的平方根D(X)称为标准差，它描述

随机变量取值与其数学期望值的离散程度，描述随机变量稳定与波动，集中与分散的状况。

标准差大，则随机变量不稳定，取值分散，预期数学期望值的偏离差大，在量纲上它与数学

期望一致。

在实际问题中，若两个随机变量X,Y,且E(X),E(Y)E(X)E(Y)或E(X)与E(Y)比较接近

时，我们常用D(X)与D(Y)来比较这两个随机变量。方差值大的，则表明该随机变量的取

值较为离散，反之则表明他较为集中。同样，标准差的值较大，则表明该随机变量的取值预

期期望值的偏差较大，反之，则表明此偏差较小。

随机变量X的数学期望和方差有何区别和联系？

1.随机变量X的数学期望E(X)描述的是随机变量X的平均值，而方差D(X)刻画的是随

机变量X与数学期望E(X)的平均离散程度。方差D(X)大，则随机变量X与数学期

望E(X)的平均离散程度大，随机变量X取值在数学期望附近分散；方差D(X)小，则

随机变量X与数学期望E(X)的平均离散程度小，随机变量X取值在数学期望附近集

中。

2.方差D(X)E(X-E(X))2是用数学期望来定义的，方差D(X)是随机变量X函数

(X-E(X))2的数学期望，所以，由随机变量函数的数学期望的计算公式我们得到：

（1）若X为离散型，则有（2.3）

（2）若X为连续型，则有（2.4）

3.在实际问题中，我们经常用D(X)E(X-E(X))2来计算方差。由此可以得到：随机变

量X与数学期望E(X)不存在，则方差一定不存在。

4.若随机变量X与数学期望E(X)存在，方差也可能不存在。

切比雪夫不等式的意义是什么？有哪些应用？

D(X)

切比雪夫不等式有两种等价形式的表达形式：P(XE(X))1或

2

D(X)

P(XE(X))。它反映了随机变量在数学期望的邻域的概率不小于

2

D(X)

1。如果随机变量的分布不知道，只要知道它的数学期望和方差，我们就可以利用

2

切比雪夫不等式估计概率。

它的应用有以下几个方面：

（1）已知数学期望和方差，我们就可以利用切比雪夫不等式估计在数学期望的邻域的

概率。

（2）已知数学期望和方差，对确定的概率，利用切比雪夫不等式求出，从而得到所需

估计区间的长度。

（3）对n重贝努力试验，利用切比雪夫不等式可以确定试验次数。

（4）它是推导大数定律和其他定理的依据。

解题的具体步骤：

首先，根据题意确定恰当的随机变量X，求出数学期望E(X)与D(X)；

其次，确定0的值，

最后，由切比雪夫不等式进行计算和证明。

注:（一）相关系数的含义

1.相关系数刻画随机变量X和Y之间的什么关系？

（1）相关系数也常称为“线性相关系数”。这是因为，实际相关系数并不是刻画了随机变量

X和Y之间的“一般”关系的程度，而只是“线性”关系的程度。这种说话的根据之一就

在于，当且仅当X和Y有严格的线性关系是才有||达到最大值1.可以容易举出例子说

XY

明：即使X和Y有严格的函数关系但非线性关系，||不仅不必为1，还可以为0.

XY

（2）如果0||1，则解释为：随机变量X和Y之间有一定程度的“线性关系而非严

XY

格的线性关系”

2.相关系数刻画了随机变量X和Y之间的“线性相关”程度.

XY