(2.3.2方差与标准差2.doc

2.3.2　方差与标准差（2） 泰州市娄庄中学 孙有华 教学目标： 1．掌握并应用计算数据的方差、标准差的方法； 2．了解数据的方差、标准差的简单性质； 3．使学生掌握通过合理抽样对总体的稳定性水平作出科学估计的思想． 教学重点： 数据的方差、标准差的简单性质的了解． 教学难点： 数据的方差、标准差的简单性质的应用． 教学方法： 引导发现、合作探究． 教学过程： 一、创设情景，揭示课题 要从甲乙两名跳远运动员中选拔一名去参加运动会，选拔的标准是：先看他们的平均成绩，如果两人的平均成绩相差无几，就要再看他们成绩的稳定程度．为此对两人进行了15次比赛，得到如下数据：（单位：cm）： 甲 755 752 757 744 743 729 721 731 778 768 761 773 764 736 741 乙 729 767 744 750 745 753 745 752 769 743 760 755 748 752 747 如何通过对上述数据的处理，来作出选人的决定呢？ 提出问题 ①若给定一组数据，方差为s2，则的方差为 ②若给定一组数据，方差为s2，则的方差 为 二、学生活动 设一组样本数据，其平均数为=，则 样本方差：s2=〔（x 1—）２+（x2—）2+…+（xn—）2〕 另一组样本数据，其平均数为=a,则s 样本方差=〔（ax1—a）２+（ax2—a）2+…+（axn—a）2〕 =a2〔（x1—）２+（x2—）2+…+（xn—）2〕 =． 同样：另一组样本数据，其平均数为 =a+b, 样本方差=〔（ax1+b—a-b）２+（ax2+b—a-b）2+…+（axn+b—a-b）2〕 =a2〔（x1—）２+（x2—）2+…+（xn—）2〕 =． 特别地，当时，则有的方差为s2，这说明将一组数据的每一个数据都减去或加上相同的一个常数，其方差是不变的，即不影响这组数据的波动性． 三、建构数学 ①若给定一组数据，方差为s2，则的方差为 ②若给定一组数据，方差为s2，则的方差 为； 四、数学运用 1．例题讲解． 例1　若的方差为3，则的方差为． 将某班学生40人随机平均分成两组，两组学生一次考试成绩如下表： 平均成绩 标准差 第一组 90 6 第二组 80 4 试求全班学生的平均成绩和标准差． 解：记第一组20人成绩为，第二组20人成绩为，则 ，全班的平均成绩． =36，=16， 故全班学生成绩的标准差为 ． 例3　已知两家工厂，一年四季上缴利税情况如下（单位：万元）： 季 度 一 二 三 四 甲 厂 70 50 80 40 乙 厂 55 65 55 65 试分析两厂上缴利税的情况． 解：甲、乙两厂上缴利税的季平均值分别为 甲=（70+50+80+40）=60， 乙=（55+65+55+65）=60； 甲、乙两厂上缴利税的方差为 s甲2=［（70－60）2+（50－60）2+（80－60）2+（40－60）2］=250， s乙2=［（55－60）2+（65－60）2+（55－60）2+（65－60）2］=25． 经上述结果分析，两厂上缴利税的季平均值相同，但甲厂比乙厂波动大，导致它们生产出现的差异大，乙厂不同季节的缴税量比较接近平均值，生产稳定，而甲厂不稳定． 评注：平均数描述了数据的平均水平，定量地反映了数据的集中趋势所处的水平． 反映在频率分布直方图中，平均数是直方图的平衡点．但由于平均数与每一个样本的数据有关，所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是众数、中位数都不具有的性质，因此，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中极端值的影响较大，使得平均数在估计总体时可靠性降低．方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，方差越大，数据的离散程度越大． 2．巩固深化，反馈矫正． （1）甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人测试成绩如下表： 甲的成绩 环数 7 8 9 10 频数 5 5 5 5 乙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 6 4 4 6 丙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 4 6 6 4 分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ） A． B． C． D． 2．已知样本的平均数是，标准差是，则 3．一组数据的方差为S2，将这组数据中的每一个数据都扩大到原来的4倍，所得到的一组数据的方差是 4．某农场为了从三种不同的西红柿品种中选取高产稳定的西红柿品种，分别在5块试验田上做实验，每块试验田均为O．5公顷，产量情况如下： 品种 产量(kg) 1 2 3 4 5， 1