离散数学与——二元关系 4.5 (2%2B2学时) .ppt

* * 练习1：设A={2,3,6,12,24,36}，“≤”是A上的整除关系R，画出其一般的关系图和哈斯图。 * 关系图 哈斯图 2 3 6 12 36 24 2 3 6 12 36 24 Hasse图 重要元素： 极大元/极小元，最大元/最小元，上界/下界， 上确界/下确界 * 重要元素 * [定义4] 极大元与极小元： 设A，≤是偏序集，B?A， 若存在y∈B，在B中找不到一个元素x（x≠y），使yx ，则称y为B中的极大元。 即极大元是在B中找不到比其更大的元素。 极小元类似定义。 重要元素 * 例2：Ｎ，|是偏序集， B＝｛２，３，４，５，６，７，８，９｝ 则 B中极大元：８，６，９，５，７ 极小元：２，３，５，７ 重要元素 * 也可通过Hasse图来寻找极大元或极小元。 重要元素 * 注： 1）极大元，极小元必须是子集B中的元素。 2）极大元，极小元并不要求唯一，且同一元素，可以既是极大元，又是极小元，如５，７。 重要元素 * [定义5] 最大元与最小元： 设A，≤是偏序集，B?A， 若存在y∈B，对?x∈B，x≤y ，则称y为B的最大元。 即最大元是B中所有元素都比其小的元素。 最小元类似定义。 重要元素 * 仍借助Hasse图来寻找最大元和最小元。 结论：子集B中是不存在最大元与最小元。 重要元素 * 注： 最大元（最小元）本身应属于子集B，且与B中任一元素都有关系。 重要元素 * 练习2： A＝｛ａ，ｂ，ｃ｝, Ｒ3＝｛s1，s2｜s1 ? s2，s1，s2∈P(A)｝， P(A)， ? 是偏序集。 设B＝｛?，｛ａ｝，｛ｂ｝，｛ｃ｝，｛ａ，ｂ｝，｛ａ，ｃ｝，｛ｂ，ｃ｝｝ 求其最大元与最小元，极大元与极小元。 重要元素 * 结论： B存在最小元? ，没有最大元。 极小元是?，极大元是{a , b}, {a , c}, {b , c}。 重要元素 * [定义6] 上界与下界： 设A，≤是偏序集，B?A， 若存在y∈A，对 ?x∈B，都有x ≤ y，称y为 B的上界。 下界类似定义。 重要元素 * 例3： A＝｛ａ，ｂ，ｃ｝, Ｒ3＝｛s1，s2｜s1 ? s2，s1，s2∈P(A)｝， P(A)， ? 是偏序集。 设B＝｛?，｛ａ｝，｛ｂ｝，｛ｃ｝，｛ａ，ｂ｝，｛ａ，ｃ｝，｛ｂ，ｃ｝｝ 求B的上界与下界。 重要元素 * 结论： (1) B无最大元，但存在B的上界{a, b,c}。 (2) ?为B的最小元，也是B的下界。 * [定义] 上确界与下确界： 上确界：最小上界 下确界：最大下界 重要元素 * 例4： 上例P(A)，?中取B’={?，{ｂ}，{ｃ}}，则 {ｂ，ｃ}与{ａ，ｂ，ｃ}是B’的上界，{ｂ，ｃ}是B’的上确界。 * 结论：(1)ｄ，ｅ是B的上界。 (2)ｄ与ｅ无法比大小，不存在上确界。 (3)B的下界不存在，不存在下确界。 例5：A＝｛ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ｝ B＝｛ａ，ｂ，ｃ｝，定义偏序集A，≤ 1.设集合A={a,b,c,d,e,f,g,h}，对应的哈斯图见下图令B1={a,b}，B2={c,d,e}。求出B1，B2的最大元、最小元、极大元、极小元、上界、下界、上确界、下确界。 * e a b c d f g h 作业 * 2.设集合X={x1,x2,x3,x4,x5}上的偏序关系如下图所示，求X的最大元、最小元、极大元、极小元。求子集X1={x2,x3,x4}，X2={x3,x4,x5}，X3={x1,x3,x5}的上界、下界、上确界、下确界、最大元、最小元、极大元和极小元。 x1 x2 x3 x5 x4 作业 3. 课本4.16 提示：1、2题目可列表格表示，如： * 集合 最大元 最小元 极大元 极小元 上界 下界 上确界 下确界 B1 B2 作业 * * * * * 二元关系基本概念(重点) 关系的运算 关系的性质(重点) 关系的闭包运算 等价关系与偏序关系(难点) 二元关系 在本节中，主要内容是等价关系与偏序关系： 等价关系： 基本概念：等价关系 等价类 商集 集合的划分 理解集合的划分与等价关系之间的关系。 偏序关系： 基本概念：偏序关系 偏序集 哈斯图 能够画出偏序集的哈斯(Hasse)图。 能够找出偏序集中的重要元素。 * 本节要求 * 等价关系 [定义1]等价关系： A上的二元关系R，如果R