行列式的非凡解法.doc

【title】 Act3???Cramers Rule 【Content Arrangement】:????? ? 1）Cramers Rule 2）Some methods to compute determinant Act3-1 Some methods to compute the determinant （行列式的特殊解法） 【Content Arrangement】:?? 　 ?1、 HYPERLINK file:///D:\\AAA\\linear\\chapter1\\4\\44-3.htm 化为三角形 2、 HYPERLINK file:///D:\\AAA\\linear\\chapter1\\4\\44-4.htm 降阶法 ? 3、 HYPERLINK file:///D:\\AAA\\linear\\chapter1\\4\\44-1.htm Vandermonde ? 4、 HYPERLINK file:///D:\\AAA\\linear\\chapter1\\4\\44-2.htm 递推法 ? *5、 HYPERLINK file:///D:\\AAA\\linear\\chapter1\\4\\44-5.htm 拆项法 *6、 HYPERLINK file:///D:\\AAA\\linear\\chapter1\\4\\44-6.htm 析因子法 *7、 HYPERLINK file:///D:\\AAA\\linear\\chapter1\\4\\44-7.htm 拉普拉斯定理的特例 化为三角形（加边法） 例1： 2、降阶法? 例： 解 ： ?????????? ???? ?????????????????? 请计算当a=1,b=2,c=3,d=0时，D的值？(不要套公式) 3．Vandermonde 例: Vandermonde行列式 ? 证明 用数学归纳法。 ?? 当 n=2时， 成立。 假设该结论对n-1阶成立，现证明 n阶也成立。 在 中，第n行减去n-1行的 倍，n-1行减去 n-2行的倍，依次类推，得 ? ???????????????? 4。递推法： 例： 解：按第一列展开，得： ????? 而： 。?故 5、拆项法： 例：计算行列式 解： 6、析因子法： 例： ? 解：很明显， =1，2，3，…， 都使得 =0,而是的次多项式，首项系数为1。 且 , ,…, 为互质多项式，故 , ,…, | ??????????? 　 7．拉普拉斯定理的两个特例 ? ? ? Act3-2??? Cramers Rule Now we will discuss the system of n linear equations in n unknowns. 　Theorem1: The system of linear equations （1） The determinant is called the coefficient determinant of the system.. If the coefficient determinant D of the system is nonzero, then the system (1) has precisely one solution, given by the formulas. （2） whereis the determinant obtained from D by the jth column by the column with the elements b1,...,bn. Proof： 首先证明（2）是方程组的解。为此把 （i=1，2，…，n）代入方程组的第k个方程左端得， ????????? ??????? ??????? ??????? ??????????? 由行列式性质7、8有， ?????????? ?????????? 下证解的唯一性： 设有另解 ,? 只须证 ???????? 同理可得，证毕。 本定理适用条件： ?? 1、n个未知数，n个方程得方程组； ?? 2、系数行列式D不为零； ?? 3、若D=0，方程组可能无解或有无穷解。 Definition： If? b1=0,...,bn=0, we call the system homogeneous.? trivial solution： （ ） Corollary1: A homogeneous system of n linear equations in