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初中数学二次函数解法 篇一：初中数学二次函数做题技巧 2012中考数学精选例题解析：一次函数（1） 知识考点： 掌握二次函数的图像和性质以及抛物线的平移规律；会确定抛物线的顶点坐标、对称轴及最值等。 精典例题： 【例1】二次函数y?ax?bx?c的图像如图所示，那么abc、b?4ac、2a?b、 2 2 4a?2b?c这四个代数式中，值为正的有（ ） A、4个 B、3个 C、2个 D、1个 b ＜1 2a 2a?b＞0 解析：x? 答案：A 评注：由抛物线开口方向判定a的符号，由对称轴的位置判 定b的符号，由抛物线与y轴交点位置判定c的符号。由抛物线与x轴的交点个数判定若x轴标出了1和－1，则结合函数值可判定2a?b、b2?4ac的符号，a?b?c、a?b?c的符号。 【例2】已知a?b?c?0，a≠0，把抛物线y?ax?bx?c向下平移1个单位，再向左平移5个单位所得到的新抛物线的顶点是（－2，0），求原抛物线的解析式。 分析：由a?b?c?0可知：原抛物线的图像经过点（1，0）；新抛物线向右平移5个单位，再向上平移1个单位即得原抛物线。 解：可设新抛物线的解析式为y?a(x?2)，则原抛物线的解析式为 22 y?a(x?2?5)2?1，又易知原抛物线过点（1，0） 0?a(1?2?5)?1，解得a??原抛物线的解析式为：y?? 2 1 4 1 (x?3)2?1 4 评注：解这类题的关键是深刻理解平移前后两抛物线间的关系，以及所对应的解析式间的联系，并注意逆向思维的应用。 另外，还可关注抛物线的顶点发生了怎样的移动，常见的几种变动方式有：开口反向（或旋转1800），此时顶点坐标不变，只是a反号；两抛物线关于x轴对称，此时顶点关于x轴对称，a反号；两抛物线关于y轴对称，此时顶点关于y轴对称； 探索与创新： 【问题】已知，抛物线y?a(x?t?1)?t（a、t是常数且不等于零）的顶点是A， 2 2 如图所示，抛物线y?x?2x?1的顶点是B。 2 （1）判断点A是否在抛物线y?x?2x?1上，为什么？ （2）如果抛物线y?a(x?t?1)?t经过点B，求a的值；这条抛物线与x轴的两个交点和它的顶点A能否构成直角三角形？若能，求出它的值；若不能，请说明理由。 解析：（1）抛物线y?a(x?t?1)?t的顶点A（t?1， 222，而x?t?1当时，y?x?2x?1?(x?1)?(x?1?1)t2） 2 2 2 2 2 ＝t，所以点A在抛物线y?x?2x?1上。 （2）顶点B（1，0），a(1?t?1)?t?0，t?0， 2 2 22 问题图 a??1；设抛物线y?a(x?t?1)?t与x轴的另一交点为C，B（1，0），C（2t?1，0），由抛物线的对称性可知，△ABC为等腰直角三角形，过A作ADx轴于D，则AD＝BD。当点C在点B的左边时，t?1?(t?1)，解得t??1或t?0（舍）；当点C在点B的右边时，t?(t?1)?1，解得t?1或t?0（舍）。故t??1。 评注：若抛物线的顶点与x轴两交点构成的三角形是直角三角形时，它必是等腰直角三角形，常用其“斜边上的中线（高）等于斜边的一半”这一关系求解有关问题。 2 2 22 2012中考数学精选例题解析 函数与一元二次方程 知识考点： 1、理解二次函数与一元二次方程之间的关系； 2、会结合方程根的性质、一元二次方程根的判别式，判定抛物线与x轴的交点情况； 3、会利用韦达定理解决有关二次函数的问题。 精典例题： 【例1】已抛物线y?(m?1)x?(m?2)x?1（m为实数）。 （1）m为何值时，抛物线与x轴有两个交点？ （2）如果抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，且△ABC的面积为2，求该抛物线的解析式。 分析：抛物线与x轴有两个交点，则对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，将问题转化为求一元二次方程有两个不相等的实数根m应满足的条件。 2 ?m?1?0 略解：（1）由已知有?，解得m?0且m?1 2 ??m?0? （2）由x?0得C（0，－1） 又AB? ?m? am?1 ∴S?ABC?∴m? 11m?AB?OC???1?2 22m?1 44或m? 351216 y?x2?x?1或y??x2?x?1 3355 【例2】已知抛物线y?x?(m?8)x?2(m?6)。 （1）求证：不论m为任何实数，抛物线与x轴有两个不同的交点，且这两个点都在x 轴的正半轴上； （2）设抛物线与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，当△ABC的面积为48平方单位时，求m的值。 （3）在（2）的条件下，以BC为直径作M，问M是否经过抛