Vasc不等式的证明及应用.pdf

2012年 第51卷 第2期 数学通报 53 Vasc不等式的证明及应用 张 宏 (广东省工业贸易职业技术学校 528237) 我们知道 ，对于任意 的实数 z，Y，，都有 768[ab)+( )+( )]． (z+ +z)j3(xy+yz+zx)，在此不等式 中令 z一口。+6c—ab， —b+ Ca—bc，z—C+ 口6一Ca， 证明 (∑ 。≥3∑ 一3∑ ≥ 其中n，b，C为任意的实数 ，可得 ： 3∑ _768∑ )· [∑ (+ 一口6)]。≥3∑ [(口+缸一ab) b b [÷(口+ + +6)] “。一 ×(6+ca—bc)]． 例2 设z，，z≥o，求证：扛 (z+Y一2z) 因 ∑ (a2+bc—n6)一∑a+∑bc + (+z一2x)+ (-4-z一2y)≥ 0． 一 ∑ab 证 明 令 —n。，3，=b。，z—C。，不等式等价 一 ∑a。+∑ 一∑ 一∑a。， 于 ： 又 ∑[(口+6c—ab)×(6+ca一 )] ∑a(a。+b一2c3)≥0 一 (ab2+ ca3一 n6c+ b。c+ abc 一 b。c。 ∑a(a。+b。一2c。) 一 。 一 n + c) 一 ∑n+∑ab。一2∑c。口 一 ∑nb+∑ca。一abc∑。+∑b。c+ 一 (∑n)。一2∑aZb+∑ab。一2∑a3b abc∑c一∑b。c。～∑ab。一abc∑口+ ∑b ≥3∑a。b一2∑口b+∑ab。一2∑n。b 一 ∑nb+∑ab。一abc∑n+∑口。b+ 一 ∑口。b一2∑nb+∑ab。 abc∑n一∑a2b一∑ab。一abc∑n+ ∑a 一 ∑ab(n一6)≥o，原不等式得证． — n。b． 例 3 已知实数n，b，C满足a+b+C一3， 故(∑a)≥3∑口b．① 求证 ：nb+bC+C口≤ 3． 证明 ∑nb一∑(口。b·口。) 在(∑ )≥3∑ 中令z—a+ ～ca， — b+∞一 ，— f+ 一 ，同法可得 ： ≤∑ (∑n)≥3∑ab。．② 一 告∑[(口。)。6]+专∑口 式①与式②这两个优美的姐妹不等式被称为 Vasc不等式，Vasc不等式是罗马尼亚的 Vasile ≤1×1[∑(a2)。]+丢∑n4 Cirtoaje教授在 1992年发现 的，遗憾 的是 ，2O年 来 国内外 的数学杂志鲜有文章介绍 Vasc不等式 一 ×3+ ×3：3，