（新人教A版）（浙江专版）2018年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2椭圆学案选修2-1.docx
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预习课本P38～42，思考并完成以下问题
1．平面内满足什么条件的点的轨迹为椭圆？椭圆的焦点、焦距分别是什么？
2．椭圆的标准方程是什么？
eq \a\vs4\al([新知初探])
1．椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离
定义中的条件2a|F1F
①当2a＝|F1F2|时，其轨迹为线段F1
②当2a|F1F
2．椭圆的标准方程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(ab0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(ab0)
焦点坐标
(－c,0)，(c,0)
(0，－c)，(0，c)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
eq \a\vs4\al([小试身手])
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到两定点距离之和等于定长的点的轨迹为椭圆( )
(2)已知椭圆的焦点是F1，F2，P是椭圆上的一动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，则动点Q的轨迹为圆( )
(3)方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a0，b0)表示的曲线是椭圆( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
2．若椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,m)＝1的一个焦点坐标为(1,0)，则实数m的值为( )
A．1 B．2
C．4 D．6
答案：C
3．椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,169)＝1的焦点坐标是________．
答案：(0，±12)
求椭圆的标准方程
求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；
(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)．
(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(ab0)．
将点(5,0)代入上式解得a＝5，又c＝4，
所以b2＝a2－c2＝25－16＝9．
故所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1．
(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(ab0)．
因为椭圆经过点(0,2)和(1,0)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)＋\f(0,b2)＝1，,\f(0,a2)＋\f(1,b2)＝1))?eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝1.))
故所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,4)＋x2＝1．
确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面
(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；
(2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解．
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过两点(2，－eq \r(2))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(14),2)))；
(2)过点(eq \r(3)，－eq \r(5))，且与椭圆eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1有相同的焦点．
解：法一：(分类讨论法)若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(ab0)．
由已知条件得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)＋\f(2,b2)＝1，,\f(1,a2)＋\f(14,4b2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＝8，,b2＝4.))
所以所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1．
若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(ab0)．
由已知条件得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(4,b2)＋\f(2,a2)＝1，,\f(1,b2)＋\f(14,4a2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b2＝8，,a2＝4.))
则a2b2，与题设中ab0矛盾，舍去．
综上，所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1．
法二：(待定系数法)设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A0，B0，A≠B)．将两点(2，－eq \r(2))，eq \b\lc\(\rc\
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