非因果AR系统盲辨识算法.docx

【Word版本下载可任意编辑】 PAGE 1 - / NUMPAGES 1 非因果AR系统盲辨识算法 J（v（n））=|K42y|=|γ4y/（σ2y）2|（5）  需要说明的是，这个准则函数实际上是Chi Wu［3］提出的一大类准则函数中的一个特例。他们提出的准则函数为：  Jl+s,2s（v（n））=|γl+s,y|2s/|γ2s,y|l+s（6）  其中l＞s1.  显然，式（5）是式（6）在l=3,s=1时的特例。该准则函数的有效性在［3］中得到了证明，但本文将证明基于式（5）这个准则的算法的全局收敛性和收敛速度。  对于非因果AR系统，其逆滤波器是一个因果MA系统和一个反因果MA系统的极联，设这两个系统分别为ω（i）和（i）。针对上面的准则函数，可以利用非线性优化中的梯度法，得到ω（i）和（i）的自学习算法为：  （7）  （8）  式中的数学期望在实际应用中都由相应的均值估计代替。当K42x为正时，x（t）为所谓超值，保证K42y不断向正的方向增大；当K42x为负时，x（t）为亚高斯（Sub-Gaussian）信号，α取负值，K42y不断减小，|K42y|增大。  算法的全局收敛性  因为本文采是非线性优化方法，这就必然涉及到一个问题：算法收敛到的是全局极值点还是局部极值点？下面的定理说明算法必然收敛到全局极值点。  定理：式（7），式（8）的算法的收敛点是全局极值点。  证明：根据输入和输出之间高阶累积量的关系，可以把准则函数改写为  J（v（n））=|K42u|∑g4（n）/［∑g2（n）］2（9）  去掉其中与输入有关的常数，可以把目标函数进一步简化为  J（g（n））=∑g4（n）/［∑g2（n）］2（10）  由式（10），得到以下驻点方程  j=1,2,…（11）  由式（11），驻点为g（j）=0或g2（j）=c,其中c=∑g4（i）/∑g2（i）为一常数。为了便于表达，定义由驻点gM（j）组成的集合GM,M=1,2,…，即  GM={gM:gM（j）符合式（11），且gM中有M个非零元素}（12） 由文献［3］关于准则有效性的证明，知道G1是由所有全局极值点组成的集合，下面证明GM，M2是由不稳定平衡点（鞍点）组成的集合，即利用本算法不会收敛到局部极值点。 假定∈GM为 （13） 其中IM=（k1,…，KM）是一个有M个不重复正整数的集合。构造一个向量。 （14）它的准则函数为 （15） 只要ε＞0，上面的不等式就严格成立。也就是说，在的任何小的领域里，总存在使得J（）＞J（），所以∈GM不可能是局部极大值。下面证明它也不是局部极小值。  设kM+1IM，构造如下的一个向量g）  （16） 它的准则函数为 （17） 因为c＞ε＞0，上面的不等式严格成立，所以∈GM不可能是局部极小值。  综上所述，∈GM,M2是准则函数的不稳定平衡点。因此按照式（7），式（8）的梯度寻优算法收敛到的必然是全局极值点。证毕。  上述定理说明，本算法对任何初始值都不会收敛到不希望的局部极值点，这无疑是一个非常可贵的性质。本文例2的仿真结果说明了这一性质。  算法的收敛速度  下面考虑算法的收敛速度。不失一般性，假设平衡点为（i）=δ（τ），g（i）为偏离平衡点的一个迭代值。  （18）  定义则有，   ≈（1-4ε0）/|1+ε-2ε0|2-1（推导中去掉了分子中ε，ε0所有的二次以上项）  ≈（1-4ε0）|1-ε+2ε0|2-1  ≈-2ε（推导中去掉了ε，ε0所有的二次以上项）（19） 由式（18）和（19），得到 J（g）-J（）∝‖g-‖2（20） 可见在全局极值点附近，准则函数是以平方速度变化的。因此本文提出的基于梯度法寻优的学习算法在平衡点附近将线性收敛。从下节例1的图1和图2中可以看到在接近收敛点附近，辨识的各个参数都以几乎相同的斜率收敛到终值。  图1反因果部分辨识过程  图2因果部分辨识过程  仿真结果  此处给出两种典型情况的仿真结果，在所有仿真中加性观测噪声为高斯白噪声，输入信号是指数分布的随机过程（均值为零，λ=1），数据长度为3000.学习常数开始时为0.5，在学习过程中逐渐减小为0.1.对每个例子均为30次Monte Carlo实验。  例1.（非因果系统的辨识）真实AR模型为  它的极点位于-0